← Маршрут ОГЭ
Тема 70 из 72 · Геометрия

Полный справочник: геометрия — четырёхугольники

Все формулы четырёхугольников ОГЭ

ТГ-каналПодписывайся · там же запись на вводный урок t.me/algo_math ↗

Геометрия: четырёхугольники

Этот раздел содержит основные свойства и формулы для параллелограмма, прямоугольника, ромба, квадрата и трапеции. Пригодится в заданиях №17, №18, №23.

Важно запомнить!

Каждый четырёхугольник — это частный случай предыдущего: квадрат ⊂ ромб ⊂ параллелограмм, квадрат ⊂ прямоугольник ⊂ параллелограмм.

1. Параллелограмм

Свойства:

  • Противоположные стороны равны и параллельны
  • Противоположные углы равны
  • Сумма соседних углов = 180°
  • Диагонали делятся пополам
$$S = a \cdot h = ab \sin \alpha$$
Пример 1 (параллелограмм)

Сторона параллелограмма равна 6, высота к ней — 4. Найдите площадь.

  1. $S = 6 \cdot 4 = 24$

Ответ: 24

2. Прямоугольник

Свойства:

  • Все углы прямые
  • Диагонали равны
  • Наследует все свойства параллелограмма
$$S = ab$$
$$d = \sqrt{a^2 + b^2}$$
Пример 2 (прямоугольник)

Стороны прямоугольника 6 и 8. Найдите диагональ и площадь.

  1. $S = 6 \cdot 8 = 48$
  2. $d = \sqrt{6^2 + 8^2} = 10$

Ответ: $S = 48$, $d = 10$

3. Ромб

Свойства:

  • Все стороны равны
  • Диагонали перпендикулярны
  • Диагонали — биссектрисы углов
$$S = \frac{d_1 d_2}{2} = a^2 \sin \alpha$$
Пример 3 (ромб)

Диагонали ромба равны 6 и 8. Найдите площадь.

  1. $S = \dfrac{6 \cdot 8}{2} = 24$

Ответ: 24

4. Квадрат

Свойства:

  • Все стороны равны
  • Все углы прямые
  • Диагонали равны и перпендикулярны
$$S = a^2$$
$$d = a\sqrt{2}$$
Пример 4 (квадрат)

Сторона квадрата равна 5. Найдите диагональ.

  1. $d = 5\sqrt{2}$

Ответ: $5\sqrt{2}$

5. Трапеция

Свойства:

  • Две стороны параллельны (основания)
  • В равнобедренной: боковые стороны равны, диагонали равны
$$S = \frac{(a+b)h}{2}$$
$$m = \frac{a+b}{2}$$
Пример 5 (трапеция)

Основания трапеции 6 и 10, высота 4. Найдите площадь.

  1. $S = \dfrac{(6+10) \cdot 4}{2} = \dfrac{16 \cdot 4}{2} = 32$

Ответ: 32

Пример 6 (средняя линия трапеции)

Основания трапеции 13 и 23. Найдите среднюю линию.

  1. $m = \dfrac{13+23}{2} = 18$

Ответ: 18

6. Сравнительная таблица

ФигураСтороныУглыДиагоналиПлощадь
Параллелограмм Противоположные равны Противоположные равны Делятся пополам $S = ah$
Прямоугольник Противоположные равны Все 90° Равны $S = ab$
Ромб Все равны Противоположные равны Перпендикулярны $S = \dfrac{d_1d_2}{2}$
Квадрат Все равны Все 90° Равны, перпендикулярны $S = a^2$
Трапеция Две параллельны — — $S = \dfrac{(a+b)h}{2}$
← 69. Полный справочник: геометрия — окружнос…