Тема 72 из 72 · Алгебра

Финальный справочник: все формулы ОГЭ

Полная шпаргалка для повторения

ТГ-каналПодписывайся · там же запись на вводный урок t.me/algo_math ↗

Содержание 19 разделов

Финальный справочник по математике
1. Арифметика и проценты
2. Степени и корни
3. Формулы сокращённого умножения (ФСУ)
4. Уравнения
5. Неравенства
6. Функции
7. Прогрессии
8. Геометрия: треугольники
9. Геометрия: четырёхугольники
10. Геометрия: окружность
11. Тригонометрия
12. Вероятность
13. Задачи на движение и работу
14. Смеси и сплавы
15. Формула Пика (клетчатая бумага)
16. Длина отрезка на клетчатой бумаге
17. Единицы измерения
18. Структура ОГЭ

Финальный справочник по математике

Этот раздел — полный свод всех основных формул и правил для ОГЭ. Перечитай его перед экзаменом, чтобы освежить память.

Важно!

Это твой финальный чек-лист. Все формулы здесь — самые нужные на экзамене. Проверь себя: знаешь ли ты их все?

1. Арифметика и проценты

Проценты:

$$p\% \text{ от } a = \frac{a \cdot p}{100}$$

$$\text{Увеличение на } p\%: a \cdot \left(1 + \frac{p}{100}\right)$$

$$\text{Уменьшение на } p\%: a \cdot \left(1 - \frac{p}{100}\right)$$

$$\text{Сколько процентов составляет } a \text{ от } b: \frac{a}{b} \cdot 100\%$$

Дроби:

$$\frac{a}{b} \pm \frac{c}{d} = \frac{ad \pm bc}{bd}$$

$$\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{ac}{bd}$$

$$\frac{a}{b} : \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c} = \frac{ad}{bc}$$

$$a\frac{b}{c} = \frac{ac + b}{c}$$

2. Степени и корни

Свойства степеней:

$$a^m \cdot a^n = a^{m+n}$$

$$\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$$

$$(a^m)^n = a^{mn}$$

$$(ab)^n = a^n \cdot b^n$$

$$\left(\frac{a}{b}\right)^n = \frac{a^n}{b^n}$$

$$a^0 = 1 \quad (a \neq 0)$$

$$a^{-n} = \frac{1}{a^n}$$

$$a^{m/n} = \sqrt[n]{a^m}$$

Свойства корней:

$$\sqrt{ab} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b} \quad (a,b \ge 0)$$

$$\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} \quad (a \ge 0, b > 0)$$

$$(\sqrt{a})^2 = a \quad (a \ge 0)$$

$$\sqrt{a^2} = |a|$$

$$\sqrt{a} + \sqrt{b} \text{ нельзя упростить!}$$

3. Формулы сокращённого умножения (ФСУ)

$$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$$

$$(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$$

$$a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$$

$$(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$$

$$(a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$$

$$a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)$$

$$a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2)$$

4. Уравнения

Линейное уравнение:

$$ax + b = 0 \Rightarrow x = -\frac{b}{a} \quad (a \neq 0)$$

Квадратное уравнение:

$$ax^2 + bx + c = 0$$

$$D = b^2 - 4ac$$

$$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$$

Теорема Виета:

$$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}, \quad x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$$

$$\text{Для } x^2 + px + q = 0: \quad x_1 + x_2 = -p, \quad x_1 \cdot x_2 = q$$

Неполные квадратные уравнения:

$$ax^2 + bx = 0 \Rightarrow x(ax+b)=0 \Rightarrow x=0 \text{ или } x=-\frac{b}{a}$$

$$ax^2 + c = 0 \Rightarrow x^2 = -\frac{c}{a} \Rightarrow x = \pm \sqrt{-\frac{c}{a}}$$

Дробно-рациональные уравнения:

Найти ОДЗ (знаменатель $\neq 0$)
Умножить на общий знаменатель
Решить уравнение
Проверить корни по ОДЗ

Биквадратные уравнения:

$$ax^4 + bx^2 + c = 0$$

$$\text{Замена: } t = x^2, \quad t \ge 0$$

Уравнения с модулем:

$$|f(x)| = a \Rightarrow f(x) = \pm a \quad (a > 0)$$

$$|f(x)| < a \Rightarrow -a < f(x) < a$$

$$|f(x)| > a \Rightarrow f(x) > a \text{ или } f(x) < -a$$

5. Неравенства

Линейные неравенства:

$$ax + b > 0 \Rightarrow x > -\frac{b}{a} \quad (a > 0)$$

$$ax + b > 0 \Rightarrow x < -\frac{b}{a} \quad (a < 0)$$

Важное правило:

$$a < b, \quad c < 0 \Rightarrow ac > bc$$

При умножении или делении на отрицательное число знак неравенства меняется.

Квадратные неравенства:

Найти корни
Определить знак $a$ (ветви параболы)
$a > 0$: между корнями $-$ (отрицательно), вне корней $+$ (положительно)
$a < 0$: между корнями $+$, вне корней $-$
Выбрать нужные промежутки

Метод интервалов:

Найти нули числителя и знаменателя
Отметить на числовой прямой
Определить знаки на каждом промежутке
Выбрать нужные промежутки
Нули знаменателя — всегда выколотые

Системы неравенств:

Решение — пересечение решений всех неравенств системы.

6. Функции

Линейная функция:

$$y = kx + b$$

Параметр	Значение	Свойство
$k > 0$	Возрастает	Прямая идёт вверх
$k < 0$	Убывает	Прямая идёт вниз
$b$	Пересечение с $Oy$	Точка $(0; b)$

Квадратичная функция:

$$y = ax^2 + bx + c$$

$$\text{Вершина: } x_0 = -\frac{b}{2a}, \quad y_0 = f(x_0)$$

Параметр	Значение	Свойство
$a > 0$	Ветви вверх	Минимум в вершине
$a < 0$	Ветви вниз	Максимум в вершине
$c$	Пересечение с $Oy$	Точка $(0; c)$

Обратная пропорциональность:

$$y = \frac{k}{x}$$

Параметр	Четверти
$k > 0$	I и III
$k < 0$	II и IV

Другие функции:

$$y = \sqrt{x} \quad (x \ge 0, \text{ возрастает})$$

$$y = |x| \quad (\text{V-образный, симметричен относительно } Oy)$$

7. Прогрессии

Арифметическая прогрессия:

$$a_n = a_1 + (n-1)d$$

$$d = a_n - a_{n-1}$$

$$S_n = \frac{(a_1 + a_n) \cdot n}{2} = \frac{2a_1 + (n-1)d}{2} \cdot n$$

$$a_n = \frac{a_{n-1} + a_{n+1}}{2}$$

Геометрическая прогрессия:

$$b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$$

$$q = \frac{b_n}{b_{n-1}}$$

$$S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1} \quad (q \neq 1)$$

$$S = \frac{b_1}{1 - q} \quad (|q| < 1)$$

$$b_n^2 = b_{n-1} \cdot b_{n+1}$$

8. Геометрия: треугольники

Сумма углов:

$$\angle A + \angle B + \angle C = 180°$$

Внешний угол:

$$\angle_{\text{внеш}} = \angle A + \angle B$$

Неравенство треугольника:

$$a + b > c, \quad a + c > b, \quad b + c > a$$

Теорема Пифагора:

$$c^2 = a^2 + b^2$$

Теорема косинусов:

$$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos\gamma$$

Теорема синусов:

$$\frac{a}{\sin\alpha} = \frac{b}{\sin\beta} = \frac{c}{\sin\gamma} = 2R$$

Площадь треугольника:

$$S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h_a$$

$$S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot \sin C$$

$$S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} \quad \text{(Герон)}$$

$$p = \frac{a+b+c}{2}$$

$$S = r \cdot p = \frac{abc}{4R}$$

Прямоугольный треугольник:

$$r = \frac{a+b-c}{2}, \quad R = \frac{c}{2}$$

$$m_c = \frac{c}{2}$$

$$h_c = \frac{ab}{c}$$

Подобие:

$$\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2} = k$$

$$\frac{P_1}{P_2} = k, \quad \frac{S_1}{S_2} = k^2$$

Признаки равенства:

СУС — две стороны и угол между ними
УСУ — сторона и два прилежащих угла
ССС — три стороны

Признаки подобия:

УУ — два угла
СУС — две стороны пропорциональны, угол между ними равен
ССС — три стороны пропорциональны

9. Геометрия: четырёхугольники

Параллелограмм:

$$S = a \cdot h = ab\sin\alpha$$

$$d_1^2 + d_2^2 = 2(a^2 + b^2)$$

Противоположные стороны равны и параллельны
Противоположные углы равны
Диагонали делятся пополам
Сумма соседних углов = 180°

Прямоугольник:

$$S = ab$$

$$d = \sqrt{a^2 + b^2}$$

Все углы прямые
Диагонали равны

Ромб:

$$S = \frac{d_1 \cdot d_2}{2} = a^2 \sin\alpha$$

Все стороны равны
Диагонали перпендикулярны
Диагонали — биссектрисы углов

Квадрат:

$$S = a^2$$

$$d = a\sqrt{2}$$

Все стороны равны
Все углы прямые
Диагонали равны и перпендикулярны

Трапеция:

$$S = \frac{(a+b) \cdot h}{2}$$

$$m = \frac{a+b}{2}$$

Две стороны параллельны (основания)
В равнобедренной: боковые стороны и диагонали равны

10. Геометрия: окружность

Основные формулы:

$$C = 2\pi R$$

$$S = \pi R^2$$

$$\ell = \frac{\pi R \alpha}{180°}$$

$$S_{\text{сектора}} = \frac{\pi R^2 \alpha}{360°}$$

Углы:

$$\angle_{\text{центр}} = \smile$$

$$\angle_{\text{впис}} = \frac{1}{2}\smile$$

$$\angle_{\text{между касательной и хордой}} = \frac{1}{2}\smile$$

Свойства:

Вписанные углы на одну дугу равны
Вписанный угол на диаметр = 90°
Касательная $\perp$ радиусу
Отрезки касательных из одной точки равны

Хорды и секущие:

$$AP \cdot PB = CP \cdot PD \quad \text{(пересекающиеся хорды)}$$

$$PT^2 = PA \cdot PB \quad \text{(касательная и секущая)}$$

$$PA \cdot PB = PC \cdot PD \quad \text{(две секущие)}$$

$$R^2 = d^2 + \left(\frac{AB}{2}\right)^2$$

Вписанная и описанная окружности:

$$r = \frac{S}{p}, \quad R = \frac{abc}{4S}$$

$$\text{Вписанный четырёхугольник: } \angle A + \angle C = 180°$$

$$\text{Описанный четырёхугольник: } AB + CD = BC + AD$$

11. Тригонометрия

Определения:

$$\sin\alpha = \frac{\text{противолежащий}}{\text{гипотенуза}}$$

$$\cos\alpha = \frac{\text{прилежащий}}{\text{гипотенуза}}$$

$$\operatorname{tg}\alpha = \frac{\text{противолежащий}}{\text{прилежащий}} = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$$

Основное тождество:

$$\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$$

Таблица значений:

$\alpha$	$\sin\alpha$	$\cos\alpha$	$\operatorname{tg}\alpha$
$0°$	$0$	$1$	$0$
$30°$	$\dfrac{1}{2}$	$\dfrac{\sqrt{3}}{2}$	$\dfrac{\sqrt{3}}{3}$
$45°$	$\dfrac{\sqrt{2}}{2}$	$\dfrac{\sqrt{2}}{2}$	$1$
$60°$	$\dfrac{\sqrt{3}}{2}$	$\dfrac{1}{2}$	$\sqrt{3}$
$90°$	$1$	$0$	не определён

12. Вероятность

$$P(A) = \frac{m}{n}$$

$$0 \le P(A) \le 1$$

$$P(\bar{A}) = 1 - P(A)$$

$$P(A \text{ или } B) = P(A) + P(B) \quad \text{(несовместные)}$$

$$P(A \text{ и } B) = P(A) \cdot P(B) \quad \text{(независимые)}$$

13. Задачи на движение и работу

Движение:

$$S = v \cdot t$$

$$v_{\text{по теч}} = v + v_{\text{теч}}$$

$$v_{\text{против теч}} = v - v_{\text{теч}}$$

$$v_{\text{теч}} = \frac{v_{\text{по}} - v_{\text{против}}}{2}$$

$$\text{Навстречу: } t = \frac{S}{v_1 + v_2}$$

$$\text{Вдогонку: } t = \frac{S}{v_1 - v_2}$$

Работа:

$$\text{Производительность} = \frac{1}{t}$$

$$\frac{1}{t_1} + \frac{1}{t_2} = \frac{1}{t_{\text{совм}}}$$

14. Смеси и сплавы

$$m_1 \cdot c_1 + m_2 \cdot c_2 = (m_1 + m_2) \cdot c_{\text{итог}}$$

15. Формула Пика (клетчатая бумага)

$$S = B + \frac{\Gamma}{2} - 1$$

$B$ — узлы внутри, $\Gamma$ — узлы на границе

16. Длина отрезка на клетчатой бумаге

$$d = \sqrt{(\Delta x)^2 + (\Delta y)^2}$$

17. Единицы измерения

Величина	Соотношение
1 м	100 см
1 м²	10 000 см²
1 сотка	100 м²
1 га	10 000 м² = 100 соток
1 км	1000 м
1 дюйм	25,4 мм
1 час	60 минут

18. Структура ОГЭ

Часть	Задания	Баллы
Часть 1	№1–19	19 баллов
Часть 2	№20–25	12 баллов
Всего	25 заданий	31 балл

Время:

3 часа 55 минут (235 минут)

Оценки:

$$\text{«3»: } 8+ \text{ баллов}$$

$$\text{«4»: } 15+ \text{ баллов (включая } 2+ \text{ по геометрии)}$$

$$\text{«5»: } 22+ \text{ баллов}$$

Удачи на экзамене!

Ты знаешь все формулы. Будь внимателен, не торопись и обязательно перепроверяй вычисления. Удачи!

← 71. Топ ошибок ОГЭ. Чек-лист перед экзаменом