Рациональные дроби. НОД и НОК. Простые числа

Обыкновенные дроби

Дробь $\frac{a}{b}$ — это отношение числителя $a$ к знаменателю $b$ ($b \ne 0$). Дробь правильная, если $|a| < |b|$ (например $\frac{3}{5}$), и неправильная, если $|a| \ge |b|$ (например $\frac{7}{4}$). Неправильную дробь можно записать смешанным числом: $\frac{7}{4} = 1\frac{3}{4}$.

Перед сложением и вычитанием приводи дроби к общему знаменателю. Общий знаменатель — это НОК знаменателей.

Сокращение дроби: числитель и знаменатель делят на их общий делитель. Дробь сокращают на НОД числителя и знаменателя. Пример: $\frac{84}{120} = \frac{7}{10}$ (разделили на $\text{НОД} = 12$).

НОД и НОК

$\text{НОД}(a, b)$ — наибольший общий делитель.

$\text{НОК}(a, b)$ — наименьшее общее кратное.

Шаг 1. Разложение на простые множители

Делим число на простые числа (2, 3, 5, 7...) до тех пор, пока не получим 1. Результат записываем справа от вертикальной черты.

Пример: разложим 180 и 252.

Разложение 180:

180 | 2
 90 | 2
 45 | 3
 15 | 3
  5 | 5
  1 |

$180 = 2^2 \cdot 3^2 \cdot 5$

Разложение 252:

252 | 2
126 | 2
 63 | 3
 21 | 3
  7 | 7
  1 |

$252 = 2^2 \cdot 3^2 \cdot 7$

Шаг 2. Находим НОД (общие с меньшей степенью)

Смотрим, какие простые числа есть у обоих чисел. Это 2 и 3.

Берём их с наименьшими показателями (у 2 степень 2, у 3 степень 2).

Шаг 3. Находим НОК (все с большей степенью)

Собираем все простые числа, которые встретились: 2, 3, 5, 7.

Берём их с наибольшими показателями (у 2 степень 2, у 3 степень 2, у 5 степень 1, у 7 степень 1).

Применение НОД и НОК в дробях

• НОД используется для сокращения дробей: $\dfrac{84}{120} = \dfrac{84:12}{120:12} = \dfrac{7}{10}$.
• НОК используется для приведения к общему знаменателю при сложении и вычитании дробей.

Простые числа и делимость

Простое число имеет ровно два делителя: 1 и само себя. Первые простые: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31. Составное число имеет и другие делители. Число 1 — не простое и не составное.

Основная теорема арифметики: любое натуральное число > 1 единственным образом (с точностью до порядка) раскладывается в произведение простых. Пример: $360 = 2^3 \cdot 3^2 \cdot 5$.

Число делителей: если натуральное число разложено на простые множители, количество его натуральных делителей равно произведению (степень + 1) по каждому простому. Пример: $360 = 2^3 \cdot 3^2 \cdot 5$, значит делителей $(3+1)(2+1)(1+1) = 24$.

Признак в условии: делимость числа

Признаки делимости: на 2 — чётная последняя цифра; на 4 — две последние цифры образуют число, кратное 4; на 5 — последняя 0 или 5; на 25 — две последние 00, 25, 50 или 75; на 3 — сумма цифр кратна 3; на 9 — сумма цифр кратна 9; на 6 — одновременно на 2 и на 3; на 11 — разность сумм цифр на чётных и нечётных местах кратна 11.

Ключевые факты

1. $\text{НОД} \cdot \text{НОК} = a \cdot b$
2. $\text{НОД}$ — общие простые в наименьших степенях; $\text{НОК}$ — все простые в наибольших
3. Число делителей — произведение (степень + 1) по всем простым множителям
4. Взаимно простые: $\text{НОД} = 1$, тогда $\text{НОК} = a \cdot b$
5. 2 — единственное чётное простое число; 1 — не простое и не составное
6. Признак делимости на 3 и на 9 — по сумме цифр; на 4 и 25 — по двум последним
7. Сокращаем дробь делением на $\text{НОД}$; несократима при $\text{НОД}(a,b)=1$
8. Общий знаменатель — это $\text{НОК}$ знаменателей