Десятичные дроби. Проценты

Десятичные дроби

Десятичная дробь — запись обыкновенной дроби со знаменателем 10, 100, 1000 и т.д. Цифры после запятой — разряды: первая после запятой — десятые, вторая — сотые, третья — тысячные. Например, в числе 3,507: 5 — десятые, 0 — сотые, 7 — тысячные.

Перевод обыкновенной дроби в десятичную: делим числитель на знаменатель. Пример: $\frac{3}{8} = 0{,}375$ (делим 3 на 8).

Не все обыкновенные дроби дают конечную десятичную: $\frac{1}{3} = 0{,}333...$ (бесконечная периодическая дробь). Конечную десятичную дробь дают только те, у которых знаменатель несократимой дроби раскладывается лишь на 2 и 5 (например $\frac{1}{4}, \frac{1}{5}, \frac{1}{8}, \frac{3}{20}$).

Перевод десятичной дроби в обыкновенную: записываем цифры после запятой в числитель, а в знаменатель — единицу с нулями по числу этих цифр, затем сокращаем. Пример: $0{,}375 = \frac{375}{1000} = \frac{3}{8}$.

Сложение и вычитание десятичных дробей выполняются столбиком: нужно уравнять число знаков после запятой (дописать нули справа) и складывать (вычитать) как обычные числа, ставя запятую под запятой. Умножение выполняют как для целых чисел, а затем в результате отделяют запятой справа столько знаков, сколько их было после запятой у обоих множителей вместе. При делении на десятичную дробь запятую в делимом и делителе переносят на одинаковое число знаков вправо так, чтобы делитель стал целым числом, а затем делят обычным образом.

Проценты: основные понятия

Процент — это одна сотая часть числа: $1\% = \frac{1}{100} = 0{,}01$. Чтобы перевести проценты в дробь, делим число процентов на 100: $35\% = 0{,}35$. Чтобы перевести дробь в проценты, умножаем на 100%: $0{,}7 = 70\%$.

Это три базовые задачи на проценты — они лежат в основе всех остальных: 1) найти часть от целого, 2) найти целое по известной части, 3) найти отношение одной величины к другой в процентах.

Частые ошибки: «увеличить на 100%» означает удвоить (стало 200%), а «увеличить в 2 раза» — тоже удвоить. «Увеличить на 50%» — это умножить на 1,5, а не «стало 50%».

Изменение величины на проценты

Коэффициент $(1 + \frac{p}{100})$ при увеличении и $(1 - \frac{p}{100})$ при уменьшении называют коэффициентом (множителем) изменения. Например, увеличение на 8% — это умножение на 1,08; уменьшение на 30% — умножение на 0,7.

Сложные проценты

Формула сложных процентов:

где $S_0$ — начальная сумма, $p$ — процентная ставка за один период, $n$ — число периодов (например, лет).

При простых процентах прирост каждый год считают от начальной суммы $\left(S = S_0 \cdot \left(1 + \frac{p \cdot n}{100}\right)\right)$, а при сложных — от суммы, накопленной к началу очередного периода, поэтому рост идёт быстрее. В задачах про банковский вклад «под сложные проценты» используют именно вторую формулу.

Такой же принцип работает и для многократного последовательного изменения величины: если цена товара за 2 года дважды выросла на 10%, итоговая цена равна начальной, умноженной на $1{,}1$ дважды (то есть на $1{,}21$), а не на 1,2.

Ключевые факты

1. $1\% = \frac{1}{100} = 0{,}01$
2. $p\%$ от $a = a \cdot \frac{p}{100}$; число по $p\% = a : \frac{p}{100}$; $a$ от $b$ в процентах $= \frac{a}{b} \cdot 100\%$
3. Увеличение на $p\%$ — умножение на $\left(1 + \frac{p}{100}\right)$; уменьшение — на $\left(1 - \frac{p}{100}\right)$
4. Рост на $p\%$, затем падение на те же $p\%$ — НЕ возврат к исходному значению
5. Сложные проценты: каждый период прирост считается от уже накопленной суммы
6. Конечную десятичную дробь даёт знаменатель, разложение которого содержит только простые множители 2 и 5
7. Округление: цифры 5–9 округляют вверх, 0–4 — отбрасывают без изменений