Формулы сокращённого умножения. Степень

ФСУ, свойства степеней с любым показателем

Месяц 1

Формулы сокращённого умножения (ФСУ)

ФСУ позволяют быстро раскрывать скобки и разложить выражение на множители — без перемножения в столбик.

$$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2, \qquad (a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$$

$$a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$$

$$a^3 \pm b^3 = (a \pm b)(a^2 \mp ab + b^2)$$

$$(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3, \qquad (a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$$

Мнемоника для суммы/разности кубов: скобка · неполный квадрат. Знаки: $(a+b)(a^2-ab+b^2)$ — средний член со знаком «минус»; $(a-b)(a^2+ab+b^2)$ — со знаком «плюс».

Важно

Ошибка: $(a+b)^2 \ne a^2+b^2$. Забытое «$2ab$» — классическая ошибка ЕГЭ! Всегда пишите полный квадрат с двойным произведением.

Применение ФСУ наоборот (разложение на множители): узнайте вид → применяйте обратно. Пример: $4x^2-9 = (2x)^2-3^2 = (2x-3)(2x+3)$.

Свойства степеней

Степень $a^n$ ($n$ — натуральное) $= \underbrace{a \cdot a \cdot \ldots \cdot a}_{n}$. Основные свойства для $a, b > 0$ и любых показателей $m, n$:

$$a^m \cdot a^n = a^{m+n}, \qquad a^m : a^n = a^{m-n}, \qquad (a^m)^n = a^{mn}$$

Дробный показатель: $a^{1/2} = \sqrt{a}$, $a^{1/3} = \sqrt[3]{a}$. Пример: $8^{2/3} = \left(8^{1/3}\right)^2 = 2^2 = 4$.

Важно

Свойства работают при $a > 0$. Для отрицательных оснований и нецелых показателей степень может быть неопределена. На ЕГЭ основания под дробными показателями всегда положительны.

Стандартный вид числа. Порядок

Стандартный вид: $a \cdot 10^n$, где $1 \le a < 10$, $n$ — целое. Используется для записи очень больших и очень малых чисел.

Умножение в стандартном виде: $(a \cdot 10^n)(b \cdot 10^m) = (a \cdot b) \cdot 10^{n+m}$. Если $a \cdot b \ge 10$ — скорректировать: перенести единицу в показатель.

На ЕГЭ задание на стандартный вид встречается редко, но степени двойки/тройки — часто. Выучите: $2^8=256$, $2^{10}=1024$, $3^4=81$, $3^5=243$.

Пример

Разложить $9x^2 - 4$ на множители, где $a = 3x$, $b = 2$.

Пример

Раскрыть $(3-2x)^2$, здесь $a = 3$, $b = 2x$.

Пример

Упростить $a^{5/3} / a^{2/3}$.

Делим: $a^{5/3} / a^{2/3} = a^{5/3 - 2/3} = a^{3/3} = a^1 = a$.

Ответ: $a$

Пример

Вычислить значение степенного выражения.

Ответ: 8

Ключевые факты

$(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$, $(a-b)^2 = a^2-2ab+b^2$ — не забывайте $2ab$!
Разность квадратов: $a^2-b^2 = (a-b)(a+b)$
Сумма/разность кубов: $a^3 \pm b^3 = (a \pm b)(a^2 \mp ab+b^2)$
$a^m \cdot a^n = a^{m+n}$; $a^m : a^n = a^{m-n}$; $(a^m)^n = a^{mn}$
$a^{-n} = \frac{1}{a^n}$; $a^{1/n} = \sqrt[n]{a}$; $a^{m/n} = \left(\sqrt[n]{a}\right)^m$
$a^0 = 1$ при $a \ne 0$
$8^{2/3} = 4$; $16^{3/4} = 8$; $27^{2/3} = 9$ — запомните как образцы

🔒 Практика по теме

← 2. Десятичные дроби. Проценты 4. Квадратный корень. Модуль. Сравнение кор… →