Квадратный корень. Модуль. Сравнение корней
Свойства корней, действия с радикалами, модуль числа
Квадратный и n-й корень
$\sqrt{a}$ — неотрицательное число, квадрат которого равен $a$. Определён только при $a \ge 0$. Кубический корень $\sqrt[3]{a}$ определён для любого $a$ (в том числе отрицательного).
$\sqrt{a^2} = |a|$, а не $a$. Пример: $\sqrt{(-5)^2} = \sqrt{25} = 5 = |-5|$. Ошибка «$\sqrt{x^2} = x$» встречается в каждом третьем решении!
Рационализация знаменателя: умножьте числитель и знаменатель на сопряжённое выражение. Пример: $\frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$. Пример с биномом: $\frac{1}{\sqrt{3}+1} = \frac{\sqrt{3}-1}{(\sqrt{3})^2-1^2} = \frac{\sqrt{3}-1}{2}$.
Корень нечётной степени: $\sqrt[3]{-8} = -2$, потому что $(-2)^3 = -8$. Корень чётной степени из отрицательного числа не определён в $\mathbb{R}$.
Модуль числа
Модуль $|a|$ — расстояние от $a$ до 0 на числовой прямой. Всегда неотрицателен: $|a| \ge 0$.
$|a - b|$ — расстояние между $a$ и $b$.
Уравнение $|f(x)| = a$ ($a > 0$) распадается на два: $f(x) = a$ и $f(x) = -a$. При $a = 0$: $f(x) = 0$. При $a < 0$: нет решений.
Геометрический смысл: $|x - c| < r$ — интервал $(c-r;\ c+r)$; $|x - c| > r$ — два луча. Это позволяет быстро читать неравенства с модулем.
Сравнение корней и иррациональных чисел
Квадратный корень — возрастающая функция: если $a > b \ge 0$, то $\sqrt{a} > \sqrt{b}$. Для сравнения можно возводить в квадрат (обе стороны $\ge 0$).
Оценка: $\sqrt{10} \approx 3{,}16$; $\sqrt{2} \approx 1{,}41$; $\sqrt{3} \approx 1{,}73$; $\sqrt{5} \approx 2{,}24$. Полезно для быстрой проверки.
При сравнении с отрицательным числом: $\sqrt{a} \ge 0$, значит $\sqrt{a} >$ (любого отрицательного) — без возведения в квадрат!
Упростить $\sqrt{(a-3)^2}$ при $a < 3$.
- $\sqrt{(a-3)^2} = |a - 3|$.
Ответ: $3 - a$
Сравнить два положительных числа возведением в квадрат.
- Оба числа положительны, можно возвести в квадрат.
Ключевые факты
- $\sqrt{a^2} = |a|$ — ОБЯЗАТЕЛЕН модуль, не просто $a$
- $\sqrt{ab} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$ при $a,b \ge 0$; $\sqrt{a/b} = \sqrt{a}/\sqrt{b}$ при $b > 0$
- Корень нечётной степени определён для любого числа; чётной — только для $a \ge 0$
- $|a| = a$ если $a \ge 0$; $|a| = -a$ если $a < 0$; $|a| \ge 0$ всегда
- $|f(x)| = a$ ($a > 0$) → $f(x) = a$ или $f(x) = -a$
- $|x - c| < r \iff c - r < x < c + r$ (геометрия на числовой прямой)
- Для сравнения корней — возводи в квадрат (при неотрицательных значениях)