Линейные и квадратные уравнения. Теорема Виета

Линейное уравнение и квадратное уравнение

Линейное уравнение $ax + b = 0$ ($a \ne 0$) имеет единственный корень $x = -\frac{b}{a}$.

Квадратное уравнение: $ax^2 + bx + c = 0$, $a \ne 0$. Алгоритм решения через дискриминант $D = b^2 - 4ac$: при $D < 0$ вещественных корней нет.

Если коэффициент $b$ чётный ($b = 2k$)

Четверть дискриминанта:

Корни уравнения:

Теорема Виета

Если $x_1, x_2$ — корни уравнения $ax^2 + bx + c = 0$, то:

Для приведённого уравнения ($a = 1$): $x^2 + px + q = 0 \Rightarrow x_1 + x_2 = -p,\ x_1 \cdot x_2 = q$. Подбор корней: ищем два числа с данными суммой и произведением.

Обратная теорема Виета: если нашли два числа $s$ и $p$ такие, что $x_1 + x_2 = s$ и $x_1 \cdot x_2 = p$, то они являются корнями уравнения $x^2 - sx + p = 0$.

Разложение квадратного трёхчлена на множители

Если известны корни $x_1$ и $x_2$, то:

Для приведённого трёхчлена ($a = 1$):

Если корни целые (подбираются по Виету), разложение получается без вычисления $D$. Примеры: $x^2 - 5x + 6 = (x-2)(x-3)$; $x^2 + x - 12 = (x+4)(x-3)$.

Ключевые факты

1. $D = b^2 - 4ac$: $D > 0$ → два корня; $D = 0$ → один (двойной); $D < 0$ → нет вещественных
2. $x_{1,2} = \dfrac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$
3. Виет: $x_1+x_2 = -\frac{b}{a}$; $x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$
4. $ax^2+bx+c = a(x-x_1)(x-x_2)$ — разложение через корни
5. $x_1^2 + x_2^2 = (x_1+x_2)^2 - 2x_1x_2$ — выражение через элементарные симметрические
6. Обратная теорема: $x^2-(x_1+x_2)x + x_1x_2 = 0$ строит уравнение по корням