Кубические и рациональные уравнения

Кубические уравнения. Схема Горнера

Уравнение $ax^3 + bx^2 + cx + d = 0$. Основной метод — подбор рационального корня и деление.

По теореме о рациональных корнях: целые корни ищут среди делителей свободного члена $d$ (при $a=1$).

Схема Горнера (кратко)

Для чего нужна: для быстрого деления многочлена на двучлен $(x - a)$ и нахождения корней.

Алгоритм (по шагам):

Пусть дан многочлен $P(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \ldots + a_1 x + a_0$. Делим на $(x - a)$, где $a$ — предполагаемый корень.

1. Сносим первый коэффициент $a_n$ вниз.
2. Умножаем его на $a$, записываем под следующим коэффициентом.
3. Складываем с верхним числом, записываем результат вниз.
4. Повторяем до конца.
5. Последнее число — остаток. Если он 0, то $a$ — корень.

Теорема Виета для кубического: $x_1+x_2+x_3 = -\frac{b}{a}$, $x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3 = \frac{c}{a}$, $x_1x_2x_3 = -\frac{d}{a}$. Используйте для проверки.

Рациональные (дробно-рациональные) уравнения

Уравнения вида $\dfrac{P(x)}{Q(x)} = \dfrac{R(x)}{S(x)}$ или суммы дробей.

1. ОДЗ: $Q(x) \ne 0$, $S(x) \ne 0$
2. Привести к общему знаменателю или перекрёстное умножение
3. Решить целое уравнение
4. Исключить корни, не входящие в ОДЗ

Метод переноса в одну сторону: $\dfrac{P(x)}{Q(x)} - R(x) = 0$. Приводим к виду $\dfrac{\text{Числитель}(x)}{Q(x)} = 0$, затем $\text{Числитель}(x) = 0$ (при условии знаменатель $\ne 0$).

Ключевые факты

1. Кубическое: подбери целый корень среди делителей свободного члена → схема Горнера → квадратное
2. ОДЗ — ПЕРВЫЙ шаг для дробно-рациональных уравнений
3. Перекрёстное умножение: $\frac{A}{B} = \frac{C}{D} \iff AD = BC$ (при $B, D \ne 0$ из ОДЗ)
4. Теорема Виета для кубического: $x_1+x_2+x_3 = -\frac{b}{a}$; $x_1x_2x_3 = -\frac{d}{a}$
5. $x \ne 0$ при делении на $x$ — указывать отдельно в ОДЗ
6. Посторонний корень — корень, не входящий в ОДЗ: отбрасывается