Иррациональные уравнения. Уравнения с модулем
Дискриминант, формула корней, теорема Виета
1. Иррациональные уравнения (с корнями)
А) $\sqrt{f(x)} = g(x)$
Важно: условие $g(x) \ge 0$ обязательно! Без него — посторонние корни.
Б) $\sqrt{f(x)} = \sqrt{g(x)}$
Строго говоря, эта равносильность верна только при дополнительном условии $f(x)\ge0$ (или $g(x)\ge0$) — без него $f(x)=g(x)$ может выполняться и там, где оба выражения отрицательны, а корни не определены. Поэтому после решения уравнения $f(x)=g(x)$ обязательно делайте проверку подстановкой в исходное уравнение.
Уравнения с корнями (возведение в квадрат)
Правило:
Главная ошибка: забыть проверить $g(x) \ge 0$. Тогда появляются посторонние корни.
$\sqrt{x+3} = x - 1$
Возводим в квадрат: $x+3 = (x-1)^2 = x^2-2x+1$
$x^2-3x-2 = 0 \Rightarrow x = -1,\ x = 2$
Проверка по условию $x - 1 \ge 0$:
- $x = -1$: $-1-1=-2 < 0$ — посторонний
- $x = 2$: $2-1=1 \ge 0$ — подходит
Ответ: $x = 2$
Общий метод: $\sqrt{f(x)} + \sqrt{g(x)} = c$
Алгоритм:
- Уединить один корень (перенести второй вправо).
- Возвести обе части в квадрат (при этом справа появится корень).
- Снова уединить оставшийся корень и опять возвести в квадрат.
- Решить полученное уравнение (обычно линейное или квадратное).
- Обязательно сделать проверку подстановкой в исходное уравнение!
$\sqrt{x+4} + \sqrt{x} = 2$
Шаг 1. Уединяем корень: $\sqrt{x+4} = 2 - \sqrt{x}$
Шаг 2. Возводим в квадрат: $x+4 = 4 - 4\sqrt{x} + x$
Шаг 3. Упрощаем: $0 = -4\sqrt{x}$, откуда $\sqrt{x} = 0 \Rightarrow x = 0$
Шаг 4. Проверка: $\sqrt{0+4} + \sqrt{0} = 2 + 0 = 2$ — верно
Ответ: $x = 0$
$\sqrt{3x - 2} = \sqrt{x + 6}$
Особенность: корни уже по разные стороны, уединять не нужно.
Шаг 1. Возводим в квадрат: $3x - 2 = x + 6$
Шаг 2. Решаем: $2x = 8 \Rightarrow x = 4$
Шаг 3. Проверка: $\sqrt{3 \cdot 4 - 2} = \sqrt{10}$ и $\sqrt{4+6} = \sqrt{10}$ — верно
Ответ: $x = 4$
Замена $t = \sqrt{x}$
Замена: $t = \sqrt{x}$, где $t \ge 0$. Тогда $x = t^2$. Решаем уравнение относительно $t$, потом находим $x$.
$\sqrt{x} - 3 = 0$
$t = \sqrt{x}$, $t \ge 0$. $t - 3 = 0 \Rightarrow t = 3$. $x = t^2 = 9$.
2. Уравнения с модулями
А) $|f(x)| = a$ (где $a > 0$)
Б) $|f(x)| = |g(x)|$
В) Метод интервалов (для нескольких модулей)
Суть метода:
- Найти нули всех подмодульных выражений.
- Разбить числовую прямую этими точками на интервалы.
- На каждом интервале раскрыть модули по правилу:
- Если выражение $\ge 0$ — убираем модуль без изменений.
- Если выражение $< 0$ — убираем модуль, меняя знак.
- Решить полученное уравнение на каждом интервале.
- Проверить, входит ли корень в этот интервал.
Решить: $|x-2| + |x+1| = 5$
Шаг 1. Нули: $x = 2$ и $x = -1$.
Шаг 2. Интервалы: $(-\infty;\,-1)$, $[-1;\,2)$, $[2;\,+\infty)$
Шаг 3. Раскрываем модули:
| Интервал | $x-2$ | $x+1$ | Уравнение | Решение | Проверка |
| $x < -1$ | $-$ | $-$ | $-(x-2)-(x+1)=5$ | $x = -2$ | $-2 < -1$ ok |
| $-1 \le x < 2$ | $-$ | $+$ | $-(x-2)+(x+1)=5$ | $3 = 5$ | нет корней |
| $x \ge 2$ | $+$ | $+$ | $(x-2)+(x+1)=5$ | $x = 3$ | $3 \ge 2$ ok |
Ответ: $x = -2$ и $x = 3$
Уравнения с модулем: $|x|^2 + p|x| + q = 0$
Замена: $t = |x|$, где $t \ge 0$.
Получаем квадратное уравнение $t^2 + pt + q = 0$. Каждый положительный корень $t$ даёт два решения: $x = \pm t$.
$|x|^2 - 5|x| + 6 = 0$
$t = |x|$, $t \ge 0$. $t^2 - 5t + 6 = 0 \Rightarrow t = 2,\ t = 3$.
$x = \pm 2,\ \pm 3$
Ключевые правила
- $\sqrt{f(x)} = g(x) \iff f(x) = g^2(x)$ И $g(x) \ge 0$ — условие обязательно!
- $\sqrt{f(x)} = \sqrt{g(x)} \iff f(x) = g(x)$ — ОДЗ автоматически, но проверка нужна
- $|f| = a$ ($a > 0$) — $f = a$ или $f = -a$
- $|f| = |g|$ — $f = g$ или $f = -g$
- Метод интервалов: нули подмодульных — интервалы — раскрыть на каждом
- После возведения в квадрат — ОБЯЗАТЕЛЬНА проверка
- ОДЗ иррационального: подкоренное $\ge 0$