Треугольник. Подобие. Теорема Пифагора
Метод подбора корня, схема Горнера
Виды и свойства треугольников
По углам: остроугольный (все углы меньше $90°$), прямоугольный (один угол равен $90°$), тупоугольный (один угол больше $90°$). По сторонам: равносторонний (все стороны равны, все углы по $60°$), равнобедренный (две стороны равны), разносторонний (все стороны разные).
В треугольнике против большей стороны лежит больший угол, и наоборот — против большего угла лежит большая сторона.
Неравенство треугольника: треугольник существует, только если каждая его сторона меньше суммы двух других. Проще говоря, самая длинная сторона должна быть короче, чем две остальные, вместе взятые.
Как доказать, что треугольники равны
- По двум сторонам и углу между ними — если у двух треугольников совпадают две стороны и угол, который между ними, то треугольники равны.
- По стороне и двум углам, которые к ней прилегают — если совпадают одна сторона и два угла рядом с ней, то треугольники равны.
- По трём сторонам — если все три стороны совпадают, то треугольники точно равны.
Как доказать равенство прямоугольных треугольников
- По двум катетам
- По катету и гипотенузе
- По катету и прилежащему острому углу
- По катету и противолежащему острому углу
- По гипотенузе и острому углу
Средняя линия треугольника — это отрезок, который соединяет середины двух сторон. Она всегда параллельна третьей стороне и равна её половине.
Медианы и биссектрисы треугольника
Медиана — это отрезок, который соединяет вершину треугольника с серединой противоположной стороны.
Все три медианы пересекаются в одной точке. Эта точка делит каждую медиану так, что часть от вершины в 2 раза длиннее, чем часть от середины стороны. То есть если всю медиану разделить на 3 равные части, то от вершины будет 2 части, а от стороны — 1 часть.
Биссектриса — это отрезок, который делит угол треугольника пополам.
У биссектрисы есть важное свойство: она делит противоположную сторону на две части, которые относятся друг к другу так же, как стороны, прилежащие к этому углу.
Все три биссектрисы пересекаются в одной точке. Эта точка является центром окружности, которая касается всех сторон треугольника изнутри.
Здесь $r$ — радиус вписанной окружности (которая касается всех сторон), $S$ — площадь треугольника, $p$ — полупериметр (половина суммы всех сторон).
В прямоугольном треугольнике центр окружности, описанной вокруг него (проходящей через все вершины), находится на середине гипотенузы. В равностороннем треугольнике радиус описанной окружности ровно в 2 раза больше радиуса вписанной.
Теорема Пифагора
где $c$ — гипотенуза (самая длинная сторона, лежит напротив прямого угла), $a$ и $b$ — катеты (стороны, образующие прямой угол).
Пифагоровы тройки — это такие наборы чисел, которые точно подходят под теорему Пифагора. Их полезно запомнить: $(3, 4, 5)$, $(5, 12, 13)$, $(8, 15, 17)$, $(7, 24, 25)$. Также работают их кратные: $(6, 8, 10)$, $(9, 12, 15)$ и так далее.
Обратная теорема Пифагора: если для сторон треугольника выполняется $a^2+b^2 = c^2$, то этот треугольник обязательно прямоугольный. Это удобно использовать для проверки!
Подобие треугольников
Треугольники называются подобными, если их углы соответственно равны, а стороны пропорциональны. Коэффициент подобия $k$ показывает, во сколько раз стороны одного треугольника больше сторон другого.
Как доказать, что треугольники подобны
- По двум равным углам — если два угла одного треугольника равны двум углам другого, то треугольники подобны. Это самый частый способ.
- По двум пропорциональным сторонам и углу между ними
- По трём пропорциональным сторонам
Подобие прямоугольных треугольников
- По одному острому углу
- По пропорциональности двух катетов
- По пропорциональности катета и гипотенузы
Если треугольники подобны с коэффициентом $k$, то их площади относятся как $k^2$: $\dfrac{S_1}{S_2} = k^2$.
Теорема Фалеса
Если параллельные прямые пересекают стороны угла, то они отсекают на этих сторонах пропорциональные отрезки.
Теорема о биссектрисе: биссектриса угла треугольника делит противоположную сторону на части, пропорциональные прилежащим сторонам: $\dfrac{m}{n} = \dfrac{a}{b}$.
В прямоугольном треугольнике высота, опущенная из прямого угла на гипотенузу, делит его на два треугольника, которые подобны исходному и подобны друг другу.
В прямоугольном треугольнике катеты равны 5 и 12. Найдите гипотенузу и радиус описанной окружности.
Докажите, что треугольник со сторонами 9, 40, 41 — прямоугольный.
Ответ: прямоугольный (прямой угол лежит напротив стороны 41).
Два треугольника подобны. Их периметры равны 18 и 12. Меньшая сторона второго треугольника равна 4. Найдите соответствующую сторону первого.
Ответ: 6.
Точка пересечения медиан делит медиану в отношении $2:1$ от вершины. Найдите длину отрезка от вершины до точки пересечения, если вся медиана равна 9.
Ключевые факты
- Сумма углов любого треугольника равна $180°$; внешний угол равен сумме двух внутренних, не смежных с ним.
- Теорема Пифагора: $a^2+b^2 = c^2$ — работает только для прямоугольного треугольника.
- Пифагоровы тройки для быстрой проверки: $(3,4,5)$, $(5,12,13)$, $(8,15,17)$.
- Признаки подобия: по двум углам (самый частый); по двум сторонам и углу; по трём сторонам.
- Радиус описанной окружности: $R = \dfrac{abc}{4S}$; радиус вписанной: $r = \dfrac{S}{p}$; для прямоугольного треугольника $R = \dfrac{c}{2}$.
- Медианы пересекаются в одной точке, которая делит каждую медиану в отношении $2:1$ от вершины.
- Если треугольники подобны с коэффициентом $k$, то их площади относятся как $k^2$.