Тема 18 из 72 · Тригонометрия

Тригонометрические тождества. Формулы приведения

sin²+cos²=1, формулы приведения

1. Главное тригонометрическое тождество

$$\boxed{\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1}$$

Из него вытекают все остальные тождества. Запомните эту формулу как базу!

$$\sin^2 \alpha = 1 - \cos^2 \alpha, \quad \cos^2 \alpha = 1 - \sin^2 \alpha$$

Как использовать: если знаете синус, можете найти косинус (и наоборот), но не забывайте про знак — он зависит от четверти!

Пример

Известно, что $\sin \alpha = \frac{3}{5}$ и $\alpha \in (\frac{\pi}{2}; \pi)$ (II четверть). Найдите $\cos \alpha$.

$$\text{tg} \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} \quad (\cos \alpha \neq 0)$$

$$\text{ctg} \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} \quad (\sin \alpha \neq 0)$$

$$\text{tg} \alpha \cdot \text{ctg} \alpha = 1$$

$$1 + \text{tg}^2 \alpha = \frac{1}{\cos^2 \alpha}, \quad 1 + \text{ctg}^2 \alpha = \frac{1}{\sin^2 \alpha}$$

$$\sin(\alpha \pm \beta) = \sin \alpha \cdot \cos \beta \pm \cos \alpha \cdot \sin \beta$$

$$\cos(\alpha \pm \beta) = \cos \alpha \cdot \cos \beta \mp \sin \alpha \cdot \sin \beta$$

Запомните!

$\sin$ — знак сохраняется, $\cos$ — знак меняется.

$$\boxed{\sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha}$$

$$\cos 2\alpha = \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha = 2\cos^2 \alpha - 1 = 1 - 2\sin^2 \alpha$$

Три формы $\cos 2\alpha$ — выбирайте удобную в зависимости от условия:

$$\sin^2 \alpha = \frac{1 - \cos 2\alpha}{2}$$

$$\cos^2 \alpha = \frac{1 + \cos 2\alpha}{2}$$

Если угол $\frac{\pi}{2} \pm \alpha$ или $\frac{3\pi}{2} \pm \alpha$ → меняем $\sin \leftrightarrow \cos$, $\text{tg} \leftrightarrow \text{ctg}$.
Если угол $\pi \pm \alpha$ или $2\pi \pm \alpha$ → не меняем функцию.
Знак определяем по четверти исходной функции.

Примеры

$\sin(\frac{\pi}{2} + \alpha) = \cos \alpha$; $\cos(\pi - \alpha) = -\cos \alpha$; $\text{tg}(\pi + \alpha) = \text{tg} \alpha$

Как запомнить: Просто рисуем тригонометрическую окружность и на ней определяем знаки функций в каждой из четвертей.

На единичной окружности:

Синус — это координата $y$ точки на окружности. Значит, $\sin > 0$ выше оси $Ox$ (I и II четверти), $\sin < 0$ ниже оси $Ox$ (III и IV четверти).
Косинус — это координата $x$ точки на окружности. Значит, $\cos > 0$ правее оси $Oy$ (I и IV четверти), $\cos < 0$ левее оси $Oy$ (II и III четверти).
Тангенс — отношение $\sin/\cos$. Знак тангенса определяется совпадением знаков синуса и косинуса: если они одного знака, $\text{tg} > 0$; если разных, $\text{tg} < 0$.

Как запомнить

Просто рисуем тригонометрическую окружность и на ней определяем знаки функций в каждой из четвертей.

Задача 1 (Основное тождество)

Найдите $\sin \alpha$, если $\cos \alpha = -\frac{12}{13}$ и $\alpha \in (\frac{\pi}{2}; \pi)$.

Задача 2 (Двойной угол)

Найдите $\sin 2\alpha$, если $\sin \alpha = \frac{1}{3}$, $\alpha \in (0; \frac{\pi}{2})$.

$\cos \alpha = \frac{2\sqrt{2}}{3}$ (I четверть, $\cos > 0$).
$\sin 2\alpha = 2 \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{2\sqrt{2}}{3} = \frac{4\sqrt{2}}{9}$.