Формулы суммы разности углов. Двойной угол

sin(α±β), cos(α±β), sin2α, cos2α

1. Формулы суммы и разности углов

$$\boxed{\sin(\alpha \pm \beta) = \sin \alpha \cdot \cos \beta \pm \cos \alpha \cdot \sin \beta}$$

Правило: знак у синуса сохраняется.

Пример

Вычислите $\sin 75^\circ = \sin(45^\circ + 30^\circ)$.

$= \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$

$$\boxed{\cos(\alpha \pm \beta) = \cos \alpha \cdot \cos \beta \mp \sin \alpha \cdot \sin \beta}$$

Правило: знак у косинуса меняется на противоположный.

Пример

Вычислите $\cos 15^\circ = \cos(45^\circ - 30^\circ)$.

$= \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$

$$\text{tg}(\alpha \pm \beta) = \frac{\text{tg} \alpha \pm \text{tg} \beta}{1 \mp \text{tg} \alpha \cdot \text{tg} \beta}$$

$$\boxed{\sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha}$$

$$\cos 2\alpha = \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha = 2\cos^2 \alpha - 1 = 1 - 2\sin^2 \alpha$$

$$\text{tg} 2\alpha = \frac{2\text{tg}\alpha}{1 - \text{tg}^2\alpha}$$

$$\sin^2 \alpha = \frac{1 - \cos 2\alpha}{2}, \quad \cos^2 \alpha = \frac{1 + \cos 2\alpha}{2}$$

Пример

Упростите $\frac{\sin 2\alpha}{1 + \cos 2\alpha}$.