← Маршрут ЕГЭ
Тема 20 из 72 · Тригонометрия

Простейшие тригонометрические уравнения. Аркфункции

sinx=a, cosx=a, tgx=a: общее решение и частные случаи

ТГ-каналПодписывайся · там же запись на вводный урок t.me/algo_math ↗

1. Аркфункции

Аркфункции — обратные тригонометрические функции. Возвращают угол по значению тригонометрической функции.

Аркфункция Диапазон Пример
$\arcsin a$ $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$ $\arcsin(\frac{1}{2}) = \frac{\pi}{6}$
$\arccos a$ $[0; \pi]$ $\arccos(\frac{1}{2}) = \frac{\pi}{3}$
$\arctg a$ $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$ $\arctg(1) = \frac{\pi}{4}$
$\arcctg a$ $(0; \pi)$ $\arcctg(1) = \frac{\pi}{4}$

Свойства аркфункций

$$\arcsin(-x) = -\arcsin(x)$$
$$\arccos(-x) = \pi - \arccos(x)$$
$$\arcsin(x) + \arccos(x) = \frac{\pi}{2}$$

2. Простейшие тригонометрические уравнения

Уравнение $\sin x = a$

$$\boxed{x = \arcsin(a) + 2\pi n \quad \text{или} \quad x = \pi - \arcsin(a) + 2\pi n}$$

У синуса ДВЕ ветки решений!

Частный случай Решение
$\sin x = 0$$x = \pi n$
$\sin x = 1$$x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$
$\sin x = -1$$x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n$
Пример

Решите $\sin x = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

$x = \frac{\pi}{3} + 2\pi n$ или $x = \pi - \frac{\pi}{3} + 2\pi n = \frac{2\pi}{3} + 2\pi n$.

Уравнение $\cos x = a$

$$\boxed{x = \pm \arccos(a) + 2\pi n}$$
Частный случай Решение
$\cos x = 0$$x = \frac{\pi}{2} + \pi n$
$\cos x = 1$$x = 2\pi n$
$\cos x = -1$$x = \pi + 2\pi n$

Уравнение $\text{tg} x = a$

$$\boxed{x = \arctg(a) + \pi n}$$

Уравнение $\text{ctg} x = a$

$$\boxed{x = \arcctg(a) + \pi n}$$

3. Отбор корней на промежутке

  1. Запишите общее решение.
  2. Подставляйте целые значения $n$ и проверяйте вхождение в промежуток.
Пример

Найдите корни $\sin x = \frac{1}{2}$ на $[0; 2\pi]$.

$x = \frac{\pi}{6} + 2\pi n$ или $x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi n$. При $n=0$: $x = \frac{\pi}{6}$ и $x = \frac{5\pi}{6}$ — подходят.

← 19. Формулы суммы разности углов. Двойной у…