← Маршрут ЕГЭ
Тема 21 из 72 · Тригонометрия

Основные виды тригонометрических уравнений. Отбор

Однородные уравнения, сводящиеся к квадратным, разложение на множители, отбор корней

ТГ-каналПодписывайся · там же запись на вводный урок t.me/algo_math ↗

1. Классификация тригонометрических уравнений

Тип Вид Метод
Простейшее $\sin x = a$, $\cos x = a$, $\text{tg} x = a$ Готовые формулы
Квадратное $a\sin^2 x + b\sin x + c = 0$ Замена $t = \sin x$
Однородное $a\sin^2 x + b\sin x\cos x + c\cos^2 x = 0$ Делить на $\cos^2 x$
$f = g$ вид $\sin f(x) = \sin g(x)$ Приравнивание аргументов

2. Квадратные тригонометрические уравнения

Пример

Решите $2\sin^2 x - \sin x - 1 = 0$.

  1. $t = \sin x$, $|t| \le 1$.
  2. $2t^2 - t - 1 = 0$ → $t = -\frac{1}{2}$ или $t = 1$.
  3. $\sin x = -\frac{1}{2}$: $x = -\frac{\pi}{6} + 2\pi n$ или $x = \frac{7\pi}{6} + 2\pi n$.
  4. $\sin x = 1$: $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$.
Важно

При замене $t = \sin x$ или $t = \cos x$ всегда проверяйте $|t| \le 1$!

3. Однородные уравнения

Алгоритм:

  1. Делим на $\cos^2 x$ (при $\cos x \neq 0$).
  2. Получаем уравнение от $\text{tg} x$.
  3. Проверяем $\cos x = 0$ отдельно!
Пример

Решите $3\sin^2 x + 2\sin x\cos x - \cos^2 x = 0$.

  1. Делим на $\cos^2 x$: $3\text{tg}^2 x + 2\text{tg} x - 1 = 0$.
  2. $(3t - 1)(t + 1) = 0$ → $t = \frac{1}{3}$ или $t = -1$.
  3. $x = \arctg\frac{1}{3} + \pi n$ или $x = -\frac{\pi}{4} + \pi n$.
  4. $\cos x = 0$: $x = \frac{\pi}{2} + \pi n$ — не подходит (проверка).

4. Уравнения $\sin f = \sin g$ и $\cos f = \cos g$

$$\sin f(x) = \sin g(x) \iff \begin{cases} f = g + 2\pi n \\ f = \pi - g + 2\pi n \end{cases}$$
$$\cos f(x) = \cos g(x) \iff f = \pm g + 2\pi n$$
Пример

Решите $\sin 2x = \sin x$.

  1. $2x = x + 2\pi n$ → $x = 2\pi n$.
  2. $2x = \pi - x + 2\pi n$ → $x = \frac{\pi}{3} + \frac{2\pi n}{3}$.

5. Отбор корней на промежутке

  1. Запишите общее решение $x = a + \pi k$ или $x = a + 2\pi k$.
  2. Составьте неравенство $A \le x \le B$ и решите относительно $k$.
  3. Подставьте целые значения $k$.
Пример (ЕГЭ, задача 13)

Решите $\sin 2x = \cos x$, найдите корни на $[\frac{\pi}{2}; 2\pi]$.

  1. $2\sin x\cos x - \cos x = 0$ → $\cos x(2\sin x - 1) = 0$.
  2. $\cos x = 0$: $x = \frac{\pi}{2} + \pi n$ → $x = \frac{\pi}{2}$, $x = \frac{3\pi}{2}$.
  3. $\sin x = \frac{1}{2}$: $x = \frac{\pi}{6} + 2\pi n$ (не подходит), $x = \frac{5\pi}{6}$ (подходит).

Ответ: $x = \frac{\pi}{2}$, $x = \frac{5\pi}{6}$, $x = \frac{3\pi}{2}$.

← 20. Простейшие тригонометрические уравнения…