Тема 22 из 72 · Алгебра

Показательные уравнения. Логарифм и его свойства

y=aˣ, метод одного основания и замены; свойства логарифма

ТГ-каналПодписывайся · там же запись на вводный урок t.me/algo_math ↗

1. Показательная функция: основные свойства

Показательная функция имеет вид $y = a^x$, где $a > 0$, $a \neq 1$.

Ключевые свойства:

Область определения: $x \in \mathbb{R}$ (все действительные числа)
Область значений: $y > 0$ (всегда положительна!)
График проходит через точку $(0; 1)$
При $a > 1$: функция возрастает
При $0 < a < 1$: функция убывает

Свойство	Формула
Умножение степеней	$a^m \cdot a^n = a^{m+n}$
Деление степеней	$\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$
Степень степени	$(a^m)^n = a^{m \cdot n}$
Отрицательная степень	$a^{-n} = \frac{1}{a^n}$
Дробная степень	$a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m}$

2. Методы решения показательных уравнений

Метод 1: Сведение к одному основанию

Алгоритм: представить обе части уравнения как степени одного и того же числа, затем приравнять показатели.

$$a^{f(x)} = a^{g(x)} \iff f(x) = g(x)$$

Важно: основание $a > 0$, $a \neq 1$.

Пример

Решите $2^{x+1} = 8^{x-2}$.

Приводим к основанию 2: $8 = 2^3$ → $8^{x-2} = (2^3)^{x-2} = 2^{3x-6}$.
$2^{x+1} = 2^{3x-6}$ → $x+1 = 3x-6$.
$x+1 = 3x-6$ → $7 = 2x$ → $x = 3.5$.

Ответ: $x = \frac{7}{2}$.

Пример (дроби)

Решите $(\frac{1}{3})^{x-2} = 27$.

$\frac{1}{3} = 3^{-1}$ → $(3^{-1})^{x-2} = 3^{-(x-2)} = 3^{-x+2}$.
$27 = 3^3$.
$3^{-x+2} = 3^3$ → $-x+2 = 3$ → $-x = 1$ → $x = -1$.

Ответ: $x = -1$.

Метод 2: Замена переменной

Алгоритм: заменить $a^x = t$ (где $t > 0$), решить алгебраическое уравнение, вернуться к $x$.

Пример

Решите $4^x - 2^{x+1} - 8 = 0$.

$4^x = (2^2)^x = 2^{2x} = (2^x)^2$.
$2^{x+1} = 2 \cdot 2^x$.
Замена $t = 2^x$, $t > 0$: $t^2 - 2t - 8 = 0$.
$t^2 - 2t - 8 = 0$ → $(t-4)(t+2) = 0$ → $t = 4$ или $t = -2$ (не подходит, $t > 0$).
$2^x = 4$ → $2^x = 2^2$ → $x = 2$.

Ответ: $x = 2$.

Важно

При замене $t = a^x$ обязательно учитывайте, что $t > 0$! Отрицательные и нулевые корни отбрасываем.

Метод 3: Логарифмирование

Когда использовать: когда основания разные и их нельзя привести к общему.

Пример

Решите $2^x = 5$.

Логарифмируем обе части: $\ln(2^x) = \ln 5$.
$x \cdot \ln 2 = \ln 5$ → $x = \frac{\ln 5}{\ln 2}$.

Ответ: $x = \frac{\ln 5}{\ln 2}$.

3. Логарифм: определение и свойства

Определение

$$\log_a b = c \iff a^c = b$$

где $a > 0$, $a \neq 1$, $b > 0$.

Основные свойства логарифмов

Свойство	Формула
Логарифм произведения	$\log_a(x \cdot y) = \log_a x + \log_a y$
Логарифм частного	$\log_a(\frac{x}{y}) = \log_a x - \log_a y$
Логарифм степени	$\log_a(x^n) = n \cdot \log_a x$
Логарифм единицы	$\log_a 1 = 0$
Логарифм основания	$\log_a a = 1$
Смена основания	$\log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a}$

Пример

Вычислите $\log_2 8 + \log_2 4$.

$\log_2 8 = 3$ (так как $2^3 = 8$).
$\log_2 4 = 2$ (так как $2^2 = 4$).
$3 + 2 = 5$.

Ответ: 5.

Пример

Упростите $\log_3 27 - \log_3 9$.

$\log_3 27 = 3$ (так как $3^3 = 27$).
$\log_3 9 = 2$ (так как $3^2 = 9$).
$3 - 2 = 1$.

Ответ: 1.

ОДЗ логарифмических выражений

Важнейшее правило: аргумент логарифма должен быть строго положительным!

$$\log_a f(x) \quad \text{имеет смысл при } f(x) > 0$$

4. Частые случаи: степени чисел

Число	Степень	Число	Степень
4	$2^2$	8	$2^3$
16	$2^4$	32	$2^5$
9	$3^2$	27	$3^3$
81	$3^4$	25	$5^2$
125	$5^3$	$\frac{1}{2}$	$2^{-1}$
$\frac{1}{4}$	$2^{-2}$	$\frac{1}{8}$	$2^{-3}$

5. Типовая задача ЕГЭ (задание №14)

Задача 1 (Показательное уравнение)

Решите уравнение $3^{x+2} - 3^x = 72$.

$3^x \cdot 3^2 - 3^x = 72$ → $3^x(9 - 1) = 72$.
$3^x \cdot 8 = 72$ → $3^x = 9$.
$3^x = 3^2$ → $x = 2$.

Ответ: $x = 2$.

Задача 2 (Логарифмы)

Вычислите $\log_2 16 + \log_3 27 - \log_5 25$.

$\log_2 16 = 4$ (так как $2^4 = 16$).
$\log_3 27 = 3$ (так как $3^3 = 27$).
$\log_5 25 = 2$ (так как $5^2 = 25$).
$4 + 3 - 2 = 5$.

Ответ: 5.

Задача 3 (Уравнение с логарифмом)

Решите $\log_2 x = 3$.

По определению логарифма: $\log_2 x = 3 \iff 2^3 = x$.
$x = 8$.

Ответ: $x = 8$.

← 21. Основные виды тригонометрических уравне… 23. Логарифмические уравнения. Уравнения №1… →