← Маршрут ЕГЭ
Тема 23 из 72 · Алгебра

Логарифмические уравнения. Уравнения №14 (показательно-логарифмические)

ОДЗ, потенцирование, замена переменной

ТГ-каналПодписывайся · там же запись на вводный урок t.me/algo_math ↗

1. Что такое логарифмическое уравнение

Логарифмическое уравнение — уравнение, в котором переменная находится под знаком логарифма или в основании логарифма.

$$\log_a b = c \iff a^c = b$$

где $a > 0$, $a \neq 1$, $b > 0$.

Важно

Логарифм существует только при:

  • Основание $a > 0$, $a \neq 1$
  • Аргумент $b > 0$

Это и есть ОДЗ — её нужно выписывать первым делом!

2. ОДЗ логарифмических уравнений

Перед решением любого логарифмического уравнения обязательно выпишите ОДЗ.

Что проверять Условие Пример
Аргумент логарифма $> 0$ $\log_2(x-3)$ → $x-3 > 0$ → $x > 3$
Основание логарифма $> 0$, $\neq 1$ $\log_x 5$ → $x > 0$, $x \neq 1$
Дробь Знаменатель $\neq 0$ $\frac{1}{x-2}$ → $x \neq 2$
Пример ОДЗ

Найдите ОДЗ: $\log_3(x^2 - 4) = \log_3(2x + 1)$.

  1. $x^2 - 4 > 0$ → $x < -2$ или $x > 2$.
  2. $2x + 1 > 0$ → $x > -\frac{1}{2}$.
  3. Пересечение: $x > 2$.

ОДЗ: $x > 2$.

3. Основные свойства логарифмов

Свойство Формула Пример
Произведение $\log_a(xy) = \log_a x + \log_a y$ $\log_2 8 + \log_2 4 = \log_2 32 = 5$
Частное $\log_a(\frac{x}{y}) = \log_a x - \log_a y$ $\log_3 27 - \log_3 9 = \log_3 3 = 1$
Степень $\log_a(x^n) = n \cdot \log_a x$ $\log_2 16 = \log_2(2^4) = 4$
Смена основания $\log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a}$ $\log_4 8 = \frac{\log_2 8}{\log_2 4} = \frac{3}{2}$
Важно

Формула $\log_a(x^n) = n\log_a x$ верна только при $x > 0$. Если $n$ чётное и $x$ может быть отрицательным, используйте модуль: $\log_a(x^{2k}) = 2k \cdot \log_a |x|$.

4. Методы решения логарифмических уравнений

Метод 1: По определению логарифма

$$\log_a f(x) = b \iff f(x) = a^b$$
Пример

Решите $\log_2(x-1) = 3$.

  1. ОДЗ: $x-1 > 0$ → $x > 1$.
  2. По определению: $x-1 = 2^3 = 8$ → $x = 9$.
  3. Проверка: $9 > 1$ → подходит.

Ответ: $x = 9$.

Метод 2: Уравнивание оснований

Если логарифмы имеют одинаковые основания, можно приравнять аргументы:

$$\log_a f(x) = \log_a g(x) \iff f(x) = g(x)$$

при условии, что $f(x) > 0$ и $g(x) > 0$ (ОДЗ!).

Пример

Решите $\log_3(2x+1) = \log_3(x+5)$.

  1. ОДЗ: $2x+1 > 0$ → $x > -\frac{1}{2}$; $x+5 > 0$ → $x > -5$.
  2. Приравниваем: $2x+1 = x+5$ → $x = 4$.
  3. Проверка ОДЗ: $4 > -\frac{1}{2}$ → подходит.

Ответ: $x = 4$.

Метод 3: Приведение к общему основанию

Пример

Решите $\log_2 x + \log_4 x = 3$.

  1. ОДЗ: $x > 0$.
  2. Приводим к основанию 2: $\log_4 x = \frac{1}{2}\log_2 x$.
  3. $\log_2 x + \frac{1}{2}\log_2 x = 3$ → $\frac{3}{2}\log_2 x = 3$.
  4. $\log_2 x = 2$ → $x = 4$.

Ответ: $x = 4$.

Метод 4: Замена переменной

Пример

Решите $\log_2^2 x - 5\log_2 x + 6 = 0$.

  1. ОДЗ: $x > 0$.
  2. Замена $t = \log_2 x$: $t^2 - 5t + 6 = 0$.
  3. $(t-2)(t-3) = 0$ → $t = 2$ или $t = 3$.
  4. $\log_2 x = 2$ → $x = 4$.
  5. $\log_2 x = 3$ → $x = 8$.

Ответ: $x = 4$, $x = 8$.

5. Типовые задачи ЕГЭ (задание №14)

Задача 1 (ЕГЭ)

Решите уравнение $\log_2(x^2 - 2x) = 3$.

  1. ОДЗ: $x^2 - 2x > 0$ → $x(x-2) > 0$ → $x < 0$ или $x > 2$.
  2. По определению: $x^2 - 2x = 2^3 = 8$.
  3. $x^2 - 2x - 8 = 0$ → $(x-4)(x+2) = 0$ → $x = 4$ или $x = -2$.
  4. Проверка ОДЗ: $4 > 2$ — подходит; $-2 < 0$ — подходит.

Ответ: $x = -2$, $x = 4$.

Задача 2 (ЕГЭ)

Решите $\log_5(x^2 - 4x + 5) = \log_5(2x - 2)$.

  1. ОДЗ: $x^2 - 4x + 5 > 0$ (всегда, $D < 0$); $2x - 2 > 0$ → $x > 1$.
  2. Приравниваем: $x^2 - 4x + 5 = 2x - 2$.
  3. $x^2 - 6x + 7 = 0$ → $x = 3 \pm \sqrt{2}$.
  4. Проверка ОДЗ: $3 \pm \sqrt{2} > 1$ — оба подходят.

Ответ: $x = 3 \pm \sqrt{2}$.

Задача 3 (ЕГЭ, сложная)

Решите $\log_3^2 x - 2\log_3 x - 3 = 0$.

  1. ОДЗ: $x > 0$.
  2. Замена $t = \log_3 x$: $t^2 - 2t - 3 = 0$.
  3. $(t-3)(t+1) = 0$ → $t = 3$ или $t = -1$.
  4. $\log_3 x = 3$ → $x = 27$.
  5. $\log_3 x = -1$ → $x = \frac{1}{3}$.

Ответ: $x = \frac{1}{3}$, $x = 27$.

6. Частые ошибки и как их избежать

Ошибка Как правильно
Не выписать ОДЗ Всегда выписывайте ОДЗ в самом начале!
Потеря модуля у степени $\log_a x^{2k} = 2k \cdot \log_a |x|$
Забыть основание $\neq 1$ $\log_x a$: $x > 0$ и $x \neq 1$
Не проверить корни Все найденные корни обязательно проверяйте по ОДЗ!
← 22. Показательные уравнения. Логарифм и его…