← Маршрут ЕГЭ
Тема 24 из 72 · Тригонометрия

Простейшие тригонометрические неравенства

sinx>a, cosx<a, tgx>a: решение на тригонометрической окружности

ТГ-каналПодписывайся · там же запись на вводный урок t.me/algo_math ↗

1. Метод тригонометрической окружности

Тригонометрические неравенства решаются на единичной окружности. Это самый наглядный способ.

Алгоритм решения:

  1. Отметить на окружности точки, где $\sin x = a$ (или $\cos x = a$, $\text{tg} x = a$).
  2. Провести линию через эти точки (горизонтальную для синуса, вертикальную для косинуса).
  3. Выделить дугу, где функция удовлетворяет неравенству.
  4. Записать ответ в виде промежутка, добавив период ($2\pi k$ для $\sin$ и $\cos$, $\pi k$ для $\text{tg}$ и $\text{ctg}$).
Важно

При нестрогом неравенстве ($\ge$, $\le$) границы включаются (квадратные скобки). При строгом ($>$, $<$) — исключаются (круглые скобки).

2. Неравенства вида $\sin x > a$

Общая формула:

$$\arcsin a + 2\pi k < x < \pi - \arcsin a + 2\pi k$$
Пример

Решите $\sin x > \frac{1}{2}$.

  1. $\arcsin\frac{1}{2} = \frac{\pi}{6}$, $\pi - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}$.
  2. Ответ: $\frac{\pi}{6} + 2\pi k < x < \frac{5\pi}{6} + 2\pi k$.

Ответ: $x \in (\frac{\pi}{6} + 2\pi k; \frac{5\pi}{6} + 2\pi k)$.

Пример (нестрогое)

Решите $\sin x \ge \frac{\sqrt{2}}{2}$.

  1. $\arcsin\frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\pi}{4}$, $\pi - \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4}$.
  2. Ответ: $\frac{\pi}{4} + 2\pi k \le x \le \frac{3\pi}{4} + 2\pi k$.

Ответ: $x \in [\frac{\pi}{4} + 2\pi k; \frac{3\pi}{4} + 2\pi k]$.

3. Неравенства вида $\sin x < a$

Общая формула:

$$-\pi - \arcsin a + 2\pi k < x < \arcsin a + 2\pi k$$
Пример

Решите $\sin x < \frac{1}{2}$.

  1. $\arcsin\frac{1}{2} = \frac{\pi}{6}$.
  2. Ответ: $-\frac{7\pi}{6} + 2\pi k < x < \frac{\pi}{6} + 2\pi k$.

Ответ: $x \in (-\frac{7\pi}{6} + 2\pi k; \frac{\pi}{6} + 2\pi k)$.

4. Неравенства вида $\cos x > a$

Общая формула:

$$-\arccos a + 2\pi k < x < \arccos a + 2\pi k$$
Пример

Решите $\cos x > \frac{1}{2}$.

  1. $\arccos\frac{1}{2} = \frac{\pi}{3}$.
  2. Ответ: $-\frac{\pi}{3} + 2\pi k < x < \frac{\pi}{3} + 2\pi k$.

Ответ: $x \in (-\frac{\pi}{3} + 2\pi k; \frac{\pi}{3} + 2\pi k)$.

5. Неравенства вида $\cos x < a$

Общая формула:

$$\arccos a + 2\pi k < x < 2\pi - \arccos a + 2\pi k$$
Пример

Решите $\cos x < -\frac{1}{2}$.

  1. $\arccos(-\frac{1}{2}) = \frac{2\pi}{3}$.
  2. Ответ: $\frac{2\pi}{3} + 2\pi k < x < \frac{4\pi}{3} + 2\pi k$.

Ответ: $x \in (\frac{2\pi}{3} + 2\pi k; \frac{4\pi}{3} + 2\pi k)$.

6. Неравенства вида $\text{tg} x > a$

Общая формула:

$$\arctg a + \pi k < x < \frac{\pi}{2} + \pi k$$
Пример

Решите $\text{tg} x > 1$.

  1. $\arctg 1 = \frac{\pi}{4}$.
  2. Ответ: $\frac{\pi}{4} + \pi k < x < \frac{\pi}{2} + \pi k$.

Ответ: $x \in (\frac{\pi}{4} + \pi k; \frac{\pi}{2} + \pi k)$.

7. Неравенства вида $\text{tg} x < a$

Общая формула:

$$-\frac{\pi}{2} + \pi k < x < \arctg a + \pi k$$
Пример

Решите $\text{tg} x < -1$.

  1. $\arctg(-1) = -\frac{\pi}{4}$.
  2. Ответ: $-\frac{\pi}{2} + \pi k < x < -\frac{\pi}{4} + \pi k$.

Ответ: $x \in (-\frac{\pi}{2} + \pi k; -\frac{\pi}{4} + \pi k)$.

8. Табличные случаи (частные значения)

Неравенство Ответ
$\sin x > 0$ $(2\pi k; \pi + 2\pi k)$
$\sin x < 0$ $(-\pi + 2\pi k; 2\pi k)$
$\cos x > 0$ $(-\frac{\pi}{2} + 2\pi k; \frac{\pi}{2} + 2\pi k)$
$\cos x < 0$ $(\frac{\pi}{2} + 2\pi k; \frac{3\pi}{2} + 2\pi k)$
$\text{tg} x > 0$ $(\pi k; \frac{\pi}{2} + \pi k)$
$\text{tg} x < 0$ $(-\frac{\pi}{2} + \pi k; \pi k)$

9. Системы тригонометрических неравенств

Пример

Решите систему: $\begin{cases} \sin x > 0 \\ \cos x > 0 \end{cases}$.

  1. $\sin x > 0$: $(2\pi k; \pi + 2\pi k)$.
  2. $\cos x > 0$: $(-\frac{\pi}{2} + 2\pi k; \frac{\pi}{2} + 2\pi k)$.
  3. Пересечение: $(2\pi k; \frac{\pi}{2} + 2\pi k)$.

Ответ: $x \in (2\pi k; \frac{\pi}{2} + 2\pi k)$ — первая четверть.

← 23. Логарифмические уравнения. Уравнения №1…