← Маршрут ЕГЭ
Тема 25 из 72 · Алгебра

Метод интервалов. Рациональные неравенства

Метод интервалов, знак произведения и частного на числовой оси

ТГ-каналПодписывайся · там же запись на вводный урок t.me/algo_math ↗

1. Метод интервалов: что это и когда применять

Метод интервалов — универсальный способ решения неравенств вида $f(x) > 0$, $f(x) < 0$, $f(x) \ge 0$, $f(x) \le 0$, где $f(x)$ — многочлен или рациональная функция.

2. Алгоритм метода интервалов

  1. Перенести всё в одну сторону (получить $f(x) \gtrless 0$).
  2. Разложить $f(x)$ на множители.
  3. Найти нули каждого множителя.
  4. Нанести корни на числовую прямую, учитывая ОДЗ (знаменатель $\neq 0$).
  5. Определить знак на крайнем правом интервале.
  6. Расставить знаки: при переходе через корень нечётной кратности знак меняется, чётной — не меняется.
  7. Выбрать интервалы нужного знака.
Важно

Корни знаменателя всегда исключаются из ответа. Корни числителя включаются при нестрогих неравенствах ($\ge$, $\le$) и исключаются при строгих ($>$, $<$).

3. Правило знаков на интервалах

Кратность корня Поведение при переходе
Нечётная (1, 3, 5...) Знак меняется
Чётная (2, 4, 6...) Знак не меняется

4. Примеры решения

Пример 1

Решите $(x-2)(x+3) > 0$.

  1. Нули: $x = 2$, $x = -3$.
  2. Крайний правый интервал $(2; +\infty)$: $x = 3$ → $(1)(6) > 0$ → знак $+$.
  3. Через $x = 2$: знак меняется → $(-3; 2)$ знак $-$.
  4. Через $x = -3$: знак меняется → $(-\infty; -3)$ знак $+$.

Ответ: $x \in (-\infty; -3) \cup (2; +\infty)$.

Пример 2 (чётная кратность)

Решите $(x-1)^2(x+2) \ge 0$.

  1. Нули: $x = 1$ (кратность 2), $x = -2$ (кратность 1).
  2. Крайний правый интервал: $x = 2$ → $(1)^2(4) > 0$ → знак $+$.
  3. Через $x = 1$ (чётная): знак не меняется → $(-2; 1)$ знак $+$.
  4. Через $x = -2$ (нечётная): знак меняется → $(-\infty; -2)$ знак $-$.
  5. Нам нужно $\ge 0$ → интервалы с $+$ и корни.

Ответ: $x \in [-2; +\infty)$.

5. Дробно-рациональные неравенства

Пример

Решите $\frac{x-2}{x+3} \ge 0$.

  1. Нули числителя: $x = 2$ (включается).
  2. Нули знаменателя: $x = -3$ (исключается).
  3. Крайний правый интервал: $x = 3$ → $\frac{1}{6} > 0$ → знак $+$.
  4. Через $x = 2$: знак меняется → $(-3; 2)$ знак $-$.
  5. Через $x = -3$: знак меняется → $(-\infty; -3)$ знак $+$.

Ответ: $x \in (-\infty; -3) \cup [2; +\infty)$.

6. Частые случаи

Точка Статус при $>$ Статус при $\ge$
Корень числителя Исключается Включается
Корень знаменателя Исключается Исключается (всегда!)
  • $(x-a)(x-b) > 0$ при $a < b$: $x \in (-\infty; a) \cup (b; +\infty)$.
  • $(x-a)(x-b) < 0$ при $a < b$: $x \in (a; b)$.
← 24. Простейшие тригонометрические неравенст…