Показательные и логарифмические неравенства

Монотонность показательной и логарифмической функций, переход к одному основанию

ТГ-каналПодписывайся · там же запись на вводный урок t.me/algo_math ↗

1. Показательные неравенства: общий подход

Признак: переменная находится в показателе степени.

Главное правило: показательная функция $y = a^x$ монотонна:

При $a > 1$: функция возрастает → знак неравенства сохраняется.
При $0 < a < 1$: функция убывает → знак неравенства меняется.

2. Показательные неравенства вида $a^{f(x)} > a^{g(x)}$

$$a^{f(x)} > a^{g(x)} \iff \begin{cases} f(x) > g(x), & a > 1 \\ f(x) < g(x), & 0 < a < 1 \end{cases}$$

Пример 1 ($a > 1$)

Решите $2^x > 8$.

$8 = 2^3$ → $2^x > 2^3$.
Основание $2 > 1$, знак сохраняется: $x > 3$.

Ответ: $x \in (3; +\infty)$.

Пример 2 ($0 < a < 1$)

Решите $(\frac{1}{2})^x > 4$.

$(\frac{1}{2})^x = 2^{-x}$, $4 = 2^2$ → $2^{-x} > 2^2$.
Основание $2 > 1$: $-x > 2$ → $x < -2$.

Ответ: $x \in (-\infty; -2)$.

Пример 3

Решите $3^{x+1} < 27^{x-2}$.

$27 = 3^3$ → $3^{3x-6}$.
$3^{x+1} < 3^{3x-6}$, основание $3 > 1$: $x+1 < 3x-6$ → $x > 3.5$.

Ответ: $x \in (3.5; +\infty)$.

3. Замена переменной в показательных неравенствах

Пример

Решите $4^x - 3 \cdot 2^x + 2 \le 0$.

Замена $t = 2^x$, $t > 0$: $t^2 - 3t + 2 \le 0$.
$(t-1)(t-2) \le 0$ → $1 \le t \le 2$.
$1 \le 2^x \le 2$ → $0 \le x \le 1$.

Ответ: $x \in [0; 1]$.

4. Логарифмические неравенства: общий подход

Главное правило: логарифмическая функция $y = \log_a x$ монотонна:

При $a > 1$: возрастает → знак сохраняется.
При $0 < a < 1$: убывает → знак меняется.

Важнейшее правило

ОДЗ: аргумент логарифма $> 0$. Ответ — пересечение ОДЗ и решения неравенства.

5. Логарифмические неравенства вида $\log_a f(x) > b$

$$\log_a f(x) > b \iff \begin{cases} f(x) > a^b, & a > 1 \\ f(x) < a^b, & 0 < a < 1 \end{cases}$$

Пример 1 ($a > 1$)

Решите $\log_2(x-3) < 2$.

ОДЗ: $x > 3$.
$x-3 < 4$ → $x < 7$.
Пересечение: $3 < x < 7$.

Ответ: $x \in (3; 7)$.

Пример 2 ($0 < a < 1$)

Решите $\log_{1/2}(x-1) > -2$.

ОДЗ: $x > 1$.
Основание $< 1$, знак меняется: $x-1 < (\frac{1}{2})^{-2} = 4$ → $x < 5$.
Пересечение: $1 < x < 5$.

Ответ: $x \in (1; 5)$.

6. Логарифмические неравенства вида $\log_a f(x) > \log_a g(x)$

$$\log_a f(x) > \log_a g(x) \iff \begin{cases} f(x) > g(x), & a > 1 \\ f(x) < g(x), & 0 < a < 1 \end{cases}$$

Пример

Решите $\log_3(x+1) > \log_3(2x-3)$.

ОДЗ: $x > 1.5$.
$x+1 > 2x-3$ → $x < 4$.
Пересечение: $1.5 < x < 4$.

Ответ: $x \in (1.5; 4)$.

7. Замена переменной в логарифмических неравенствах

Пример

Решите $\log_2^2 x - 3\log_2 x + 2 \le 0$.

ОДЗ: $x > 0$. Замена $t = \log_2 x$: $t^2 - 3t + 2 \le 0$.
$(t-1)(t-2) \le 0$ → $1 \le t \le 2$ → $2 \le x \le 4$.

Ответ: $x \in [2; 4]$.

← 25. Метод интервалов. Рациональные неравенс… 27. Иррациональные неравенства. Смешанные т… →