← Маршрут ЕГЭ
Тема 27 из 72 · Алгебра

Иррациональные неравенства. Смешанные типы

ОДЗ, возведение обеих частей в степень, метод интервалов

ТГ-каналПодписывайся · там же запись на вводный урок t.me/algo_math ↗

1. Что такое иррациональное неравенство

Иррациональное неравенство — неравенство, в котором переменная находится под знаком корня.

2. ОДЗ иррациональных неравенств

$$\sqrt{f(x)} \text{ имеет смысл } \iff f(x) \ge 0$$

3. Неравенства вида $\sqrt{f(x)} > g(x)$

Случай 1: $g(x) < 0$

Неравенство выполняется всегда на ОДЗ (левая часть $\ge 0$, правая отрицательна).

Случай 2: $g(x) \ge 0$

$$\sqrt{f(x)} > g(x) \iff \begin{cases} g(x) \ge 0 \\ f(x) > g^2(x) \end{cases}$$
Пример

Решите $\sqrt{x+3} > x-1$.

  1. ОДЗ: $x \ge -3$.
  2. Случай 1: $x < 1$ → всё ОДЗ: $x \in [-3; 1)$.
  3. Случай 2: $x \ge 1$ → $x+3 > (x-1)^2$ → $x^2 - 3x - 2 < 0$ → $x \in [1; \frac{3+\sqrt{17}}{2})$.
  4. Объединяем: $x \in [-3; \frac{3+\sqrt{17}}{2})$.

Ответ: $x \in [-3; \frac{3 + \sqrt{17}}{2})$.

4. Неравенства вида $\sqrt{f(x)} < g(x)$

$$\sqrt{f(x)} < g(x) \iff \begin{cases} g(x) > 0 \\ f(x) \ge 0 \\ f(x) < g^2(x) \end{cases}$$
Пример

Решите $\sqrt{2x+1} < x-1$.

  1. ОДЗ: $x \ge -\frac{1}{2}$; правая часть $> 0$: $x > 1$.
  2. $2x+1 < (x-1)^2$ → $x(x-4) > 0$ → $x \in (-\infty;0) \cup (4;+\infty)$.
  3. Пересечение с $x > 1$: $x \in (4; +\infty)$.

Ответ: $x \in (4; +\infty)$.

5. Неравенства вида $\sqrt{f(x)} > \sqrt{g(x)}$

$$\sqrt{f(x)} > \sqrt{g(x)} \iff \begin{cases} f(x) \ge 0 \\ g(x) \ge 0 \\ f(x) > g(x) \end{cases}$$
Пример

Решите $\sqrt{x+2} > \sqrt{3x-4}$.

  1. ОДЗ: $x \ge \frac{4}{3}$.
  2. $x+2 > 3x-4$ → $x < 3$.
  3. Пересечение: $\frac{4}{3} \le x < 3$.

Ответ: $x \in [\frac{4}{3}; 3)$.

6. Сводная таблица

Неравенство Условия Что делать
$\sqrt{f} > g$ $g < 0$ Всё ОДЗ подходит
$\sqrt{f} > g$ $g \ge 0$ $f > g^2$
$\sqrt{f} < g$ $g \le 0$ Решений нет
$\sqrt{f} < g$ $g > 0$ $f < g^2$ и $f \ge 0$
$\sqrt{f} > \sqrt{g}$ — $f > g$ и $f \ge 0$, $g \ge 0$
← 26. Показательные и логарифмические неравен…