← Маршрут ЕГЭ
Тема 28 из 72 · Алгебра

Финансовая математика кредиты

Аннуитетный и дифференцированный платёж, формулы кредита

ТГ-каналПодписывайся · там же запись на вводный урок t.me/algo_math ↗

1. Два типа платежей по кредиту

Тип Признак в условии Суть
Аннуитетный «равными платежами», «одинаковыми суммами каждый месяц/год» Платёж одинаковый каждый период
Дифференцированный «долг уменьшается на одну и ту же сумму», «равными долями» Тело кредита гасится равными частями, платежи уменьшаются

2. Аннуитетный платёж

Схема расчёта долга:

Год Долг после начисления % Долг после платежа
1$kS$$kS - x$
2$k(kS-x)$$k^2S - kx - x$
$n$...$k^nS - x(k^{n-1}+...+1) = 0$
Пример (Аннуитет)

Клиент взял 2,1 млн рублей под 10% годовых на 2 года равными ежегодными платежами. Найдите ежегодный платёж.

  1. $k = 1.1$, $n = 2$.
  2. Долг после 2-го года: $1.1(1.1 \cdot 2.1 - x) - x = 0$.
  3. $1.21 \cdot 2.1 - x(1.1 + 1) = 0$ → $x = \frac{1.21 \cdot 2.1}{2.1} = 1.21$ млн.

Ответ: 1 210 000 рублей.

3. Дифференцированный платёж

Формула для выплаты в $i$-й период:

$$x_i = \frac{S}{n} + \frac{r}{100} \cdot \frac{n - i + 1}{n} \cdot S$$
Пример (Дифференцированный)

Кредит 600 000 рублей под 3% в месяц на 3 месяца. Найдите платежи и переплату.

  1. Тело: $200000$ руб./мес.
  2. 1-й: $200000 + 18000 = 218000$.
  3. 2-й: $200000 + 12000 = 212000$.
  4. 3-й: $200000 + 6000 = 206000$.
  5. Переплата: $0.03 \cdot 600000 \cdot 2 = 36000$ руб.

Ответ: 218 000, 212 000, 206 000 руб.; переплата 36 000 руб.

4. Сравнение типов платежей

Характеристика Аннуитетный Дифференцированный
Платежи Одинаковые Уменьшаются
Переплата Больше Меньше
← 27. Иррациональные неравенства. Смешанные т…