← Маршрут ЕГЭ
Тема 29 из 72 · Алгебра

Финансовая математика вклады и оптимизация

Сложный процент, вклад с пополнением, задачи на оптимизацию

ТГ-каналПодписывайся · там же запись на вводный урок t.me/algo_math ↗

1. Банковский вклад без пополнений

$$S_{\text{итог}} = S \cdot k^n$$

где $S$ — начальная сумма, $k = 1 + \frac{r}{100}$, $n$ — количество лет.

Пример

Вклад 100 000 руб. под 10% на 3 года.

$S = 100000 \cdot 1.1^3 = 133100$ рублей.

2. Вклад с ежегодным пополнением

Год После начисления % После пополнения
1$kS$$kS + A$
2$k(kS+A)$$k^2S + kA + A$
$n$...$k^nS + A(k^{n-1}+...+1)$
Пример

Вклад 50 000 руб. под 10%, пополнение 10 000 в конце каждого года. Через 3 года?

  1. $S_3 = 1.1^3 \cdot 50000 + 10000(1.21 + 1.1 + 1) = 66550 + 33100 = 99650$ руб.

Ответ: 99 650 рублей.

3. Снятие денег со счёта

Пример

Счёт 1 000 000 руб. под 10%, снятие 200 000 в конце каждого года. Через 3 года?

  1. $S_1 = 1.1 \cdot 1000000 - 200000 = 900000$.
  2. $S_2 = 1.1 \cdot 900000 - 200000 = 790000$.
  3. $S_3 = 1.1 \cdot 790000 - 200000 = 669000$ руб.

Ответ: 669 000 рублей.

4. Задачи на оптимизацию

Тип 1: Квадратичная функция

$$f(x) = ax^2 + bx + c \Rightarrow x_{\text{верш}} = -\frac{b}{2a}$$
Пример

$Q = 100 - 2P$, выручка $R = P \cdot Q$. При каком $P$ максимум?

  1. $R = -2P^2 + 100P$.
  2. $P_{\text{верш}} = -\frac{100}{-4} = 25$ тыс. руб.

Ответ: 25 000 рублей.

Тип 2: Производная

Пример

Прибыль $P(x) = -x^3 + 12x^2 - 36x + 50$. Найдите максимум.

  1. $P'(x) = -3x^2 + 24x - 36 = 0$ → $x = 2$ или $x = 6$.
  2. $P(6) = 50$ тыс. руб. — максимум.

Ответ: 50 000 рублей.

5. Сравнение вкладов

Пример

Что выгоднее: 12% на 2 года или 10% на 3 года? (100 000 руб.)

  1. $100000 \cdot 1.12^2 = 125440$ руб.
  2. $100000 \cdot 1.1^3 = 133100$ руб.

Ответ: второй вариант выгоднее на 7 660 рублей.

← 28. Финансовая математика кредиты