← Маршрут ЕГЭ

Тема 30 из 72 · Векторы

Векторы понятие, координаты, скалярное произведение

Равенство и коллинеарность векторов, координаты, |a|=√(x²+y²)

ТГ-каналПодписывайся · там же запись на вводный урок t.me/algo_math ↗

1. Что такое вектор. Основные понятия

Вектор — направленный отрезок с началом и концом.

В ЕГЭ векторы встречаются в двух видах:

На плоскости (задание 2 первой части) — векторы имеют две координаты: $\vec{a} = (x; y)$.
В пространстве (задание 14 второй части) — векторы имеют три координаты: $\vec{a} = (x; y; z)$.

Все формулы для двухмерного и трёхмерного случая одинаковые, просто количество координат разное.

2. Координаты вектора

На плоскости (задание 2):

$$\overrightarrow{AB} = (x_2 - x_1; \ y_2 - y_1)$$

В пространстве (задание 14):

$$\overrightarrow{AB} = (x_2 - x_1; \ y_2 - y_1; \ z_2 - z_1)$$

3. Длина вектора (модуль)

На плоскости:

$$|\vec{a}| = \sqrt{a_x^2 + a_y^2}$$

В пространстве:

$$|\vec{a}| = \sqrt{a_x^2 + a_y^2 + a_z^2}$$

Расстояние между точками:

На плоскости:

$$|AB| = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$$

В пространстве:

$$|AB| = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2}$$

Середина отрезка:

На плоскости:

$$M = \left(\frac{x_1 + x_2}{2}; \ \frac{y_1 + y_2}{2}\right)$$

В пространстве:

$$M = \left(\frac{x_1 + x_2}{2}; \ \frac{y_1 + y_2}{2}; \ \frac{z_1 + z_2}{2}\right)$$

4. Скалярное произведение векторов

На плоскости:

$$\vec{a} \cdot \vec{b} = a_x \cdot b_x + a_y \cdot b_y$$

В пространстве:

$$\vec{a} \cdot \vec{b} = a_x \cdot b_x + a_y \cdot b_y + a_z \cdot b_z$$

Пример (плоскость, задание 2)

$\vec{a} = (2; -1)$, $\vec{b} = (1; 4)$.

$\vec{a} \cdot \vec{b} = 2 \cdot 1 + (-1) \cdot 4 = 2 - 4 = -2$.

Пример (пространство, задание 14)

$\vec{a} = (2; -1; 3)$, $\vec{b} = (1; 4; -2)$.

$\vec{a} \cdot \vec{b} = 2 \cdot 1 + (-1) \cdot 4 + 3 \cdot (-2) = 2 - 4 - 6 = -8$.

5. Угол между векторами

Формула одна для плоскости и пространства:

$$\cos \varphi = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|}$$

Пример (плоскость, задание 2)

$\vec{a} = (1; 0)$, $\vec{b} = (0; 1)$.

$\vec{a} \cdot \vec{b} = 1 \cdot 0 + 0 \cdot 1 = 0$.
$|\vec{a}| = 1$, $|\vec{b}| = 1$.
$\cos \varphi = 0$ → $\varphi = 90°$.

Пример (пространство, задание 14)

$\vec{a} = (1; 0; 1)$, $\vec{b} = (0; 1; 1)$.

$\vec{a} \cdot \vec{b} = 1 \cdot 0 + 0 \cdot 1 + 1 \cdot 1 = 1$.
$|\vec{a}| = \sqrt{2}$, $|\vec{b}| = \sqrt{2}$.
$\cos \varphi = \frac{1}{2}$ → $\varphi = 60°$.

6. Перпендикулярность и коллинеарность

Перпендикулярность: векторы перпендикулярны, если их скалярное произведение равно нулю.

На плоскости:

$$\vec{a} \perp \vec{b} \iff a_x b_x + a_y b_y = 0$$

В пространстве:

$$\vec{a} \perp \vec{b} \iff a_x b_x + a_y b_y + a_z b_z = 0$$

Коллинеарность: векторы коллинеарны, если один является произведением другого на число $\lambda$.

На плоскости:

$$\vec{a} \parallel \vec{b} \iff \frac{a_x}{b_x} = \frac{a_y}{b_y}$$

В пространстве:

$$\vec{a} \parallel \vec{b} \iff \frac{a_x}{b_x} = \frac{a_y}{b_y} = \frac{a_z}{b_z}$$

7. Применение в стереометрии (задание 14)

Для решения задачи 14 координатным методом:

Ввести систему координат (начало — удобная вершина, оси — вдоль рёбер).
Записать координаты всех нужных точек.
Найти координаты векторов.
Применить формулы для угла между векторами, расстояния, перпендикулярности.

Угол между прямыми:

$$\cos \varphi = \frac{|\vec{a} \cdot \vec{b}|}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|}$$

Угол между прямой и плоскостью:

$$\sin \varphi = \frac{|\vec{s} \cdot \vec{n}|}{|\vec{s}| \cdot |\vec{n}|}$$

где $\vec{s}$ — направляющий вектор прямой, $\vec{n}$ — нормаль плоскости.

Угол между плоскостями:

$$\cos \varphi = \frac{|\vec{n}_1 \cdot \vec{n}_2|}{|\vec{n}_1| \cdot |\vec{n}_2|}$$

Пример (куб с ребром 1, задание 14)

Угол между ребром $AB$ и диагональю $AB_1$.

Вводим координаты: $A(0;0;0)$, $B(1;0;0)$, $B_1(1;0;1)$.
$\overrightarrow{AB} = (1;0;0)$, $\overrightarrow{AB_1} = (1;0;1)$.
$\cos \varphi = \frac{1}{1 \cdot \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ → $\varphi = 45°$.

Ответ: $45°$.

← 29. Финансовая математика вклады и оптимиза… 31. Производная. Таблица. Касательная →