Производная. Таблица. Касательная
f'(x), таблица производных, правила дифференцирования, уравнение касательной
1. Что такое производная
Производная — это скорость изменения функции в данной точке.
Геометрический смысл: производная $f'(x_0)$ равна угловому коэффициенту касательной к графику функции в точке $x_0$.
где $\alpha$ — угол наклона касательной к оси $Ox$.
Если $f'(x_0) > 0$ → функция возрастает в точке $x_0$.
Если $f'(x_0) < 0$ → функция убывает в точке $x_0$.
Если $f'(x_0) = 0$ → касательная горизонтальна (точка экстремума).
2. Таблица производных (нужно знать наизусть!)
| Функция | Производная | Пример |
| $x^n$ | $nx^{n-1}$ | $(x^3)' = 3x^2$ |
| $\sqrt{x}$ | $\frac{1}{2\sqrt{x}}$ | $(\sqrt{x})' = \frac{1}{2\sqrt{x}}$ |
| $\frac{1}{x}$ | $-\frac{1}{x^2}$ | $(\frac{1}{x})' = -\frac{1}{x^2}$ |
| $\sin x$ | $\cos x$ | $(\sin x)' = \cos x$ |
| $\cos x$ | $-\sin x$ | $(\cos x)' = -\sin x$ |
| $\text{tg} x$ | $\frac{1}{\cos^2 x}$ | $(\text{tg} x)' = \frac{1}{\cos^2 x}$ |
| $\text{ctg} x$ | $-\frac{1}{\sin^2 x}$ | $(\text{ctg} x)' = -\frac{1}{\sin^2 x}$ |
| $a^x$ | $a^x \ln a$ | $(2^x)' = 2^x \ln 2$ |
| $e^x$ | $e^x$ | $(e^x)' = e^x$ |
| $\ln x$ | $\frac{1}{x}$ | $(\ln x)' = \frac{1}{x}$ |
Производная $e^x$ равна самой себе — это уникальное свойство!
Производная $\ln x$ = $\frac{1}{x}$.
3. Правила дифференцирования
Сумма и разность
Произведение
Найдите производную $y = x^2 \cdot \sin x$.
$y' = (x^2)' \cdot \sin x + x^2 \cdot (\sin x)' = 2x \cdot \sin x + x^2 \cdot \cos x$.
Частное
Найдите производную $y = \frac{x}{x^2+1}$.
$y' = \frac{1 \cdot (x^2+1) - x \cdot 2x}{(x^2+1)^2} = \frac{x^2+1 - 2x^2}{(x^2+1)^2} = \frac{1-x^2}{(x^2+1)^2}$.
Цепное правило (производная сложной функции)
Найдите производную $y = \sin(2x)$.
- Внешняя функция: $\sin x$, внутренняя: $2x$.
- $y' = \cos(2x) \cdot (2x)' = \cos(2x) \cdot 2 = 2\cos(2x)$.
Найдите производную $y = e^{x^2}$.
- Внешняя: $e^x$, внутренняя: $x^2$.
- $y' = e^{x^2} \cdot (x^2)' = e^{x^2} \cdot 2x$.
4. Уравнение касательной
Алгоритм:
- Найти $f'(x)$.
- Вычислить $f'(x_0)$ — угловой коэффициент касательной $k$.
- Вычислить $f(x_0)$.
- Подставить в формулу касательной.
Напишите уравнение касательной к графику $y = x^2$ в точке $x_0 = 1$.
- $f'(x) = 2x$.
- $f'(1) = 2$ — угловой коэффициент.
- $f(1) = 1$.
- $y = 1 + 2(x - 1) = 1 + 2x - 2 = 2x - 1$.
Ответ: $y = 2x - 1$.
5. Особые случаи касательной
Горизонтальная касательная
Если $f'(x_0) = 0$, то касательная параллельна оси $Ox$.
При каком $x$ касательная к $y = x^3 - 3x$ горизонтальна?
- $f'(x) = 3x^2 - 3$.
- $f'(x) = 0 \Rightarrow 3x^2 - 3 = 0 \Rightarrow x^2 = 1 \Rightarrow x = \pm 1$.
Ответ: $x = -1$ и $x = 1$.
Параллельность касательных
Если касательные параллельны, то их угловые коэффициенты равны:
Перпендикулярность касательных
Если касательные перпендикулярны, то:
6. Связь производной с графиком функции
| Знак $f'(x)$ | Поведение функции | Пример |
| $f'(x) > 0$ | Функция возрастает | $y = x^2$ при $x > 0$ |
| $f'(x) < 0$ | Функция убывает | $y = x^2$ при $x < 0$ |
| $f'(x) = 0$ | Точка экстремума | $y = x^2$ при $x = 0$ |
7. Типовые задачи ЕГЭ
На рисунке изображён график функции $y = f(x)$ и касательная к нему в точке $x_0$. Найдите $f'(x_0)$.
Решение: $f'(x_0) = k = \frac{\Delta y}{\Delta x}$ (по двум точкам на касательной).
Найдите точку максимума функции $y = x^3 - 3x^2 + 2$.
- $f'(x) = 3x^2 - 6x = 3x(x - 2)$.
- $f'(x) = 0 \Rightarrow x = 0$ или $x = 2$.
- Проверяем знаки: при $x < 0$: $+$; при $0 < x < 2$: $-$; при $x > 2$: $+$.
- $x = 0$ — максимум (с $+$ на $-$).
Ответ: $x = 0$.
8. Типичные ошибки
| Ошибка | Как правильно |
| Забыть умножить на производную внутренней функции | $(f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x)$ |
| Путать производную $a^x$ и $x^a$ | $(a^x)' = a^x \ln a$; $(x^a)' = ax^{a-1}$. |
| Неправильно применять правило частного | $(\frac{f}{g})' = \frac{f'g - fg'}{g^2}$ |
| Не проверять знаки производной | Для экстремума нужна смена знака $f'$! |
Подпишись — и вся теория откроется
72 темы ЕГЭ и 72 темы ОГЭ с разборами примеров. Доступ откроется сразу и сохранится в этом браузере.