← Маршрут ЕГЭ
Тема 32 из 72 · Функции и производная

Монотонность, экстремумы, первообразная

Возрастание/убывание функции, максимум и минимум, первообразная

ТГ-каналПодписывайся · там же запись на вводный урок t.me/algo_math ↗

Связь $f$ и $f'$: монотонность и экстремумы

$$f'(x) > 0 \ \text{на} \ (a;b) \ \Rightarrow \ f \ \text{возрастает на} \ (a;b)$$
$$f'(x) < 0 \ \text{на} \ (a;b) \ \Rightarrow \ f \ \text{убывает на} \ (a;b)$$

Точка $x_0$ — точка максимума, если при переходе через неё $f'$ меняет знак с «$+$» на «$-$»; точка минимума — если с «$-$» на «$+$». Если знак $f'$ не меняется, экстремума нет — это точка перегиба.

Важно

Критическая точка (где $f'(x)=0$ или не существует) — это ещё не экстремум! Пример: $f(x)=x^3 \Rightarrow f'(x)=3x^2$, и $f'(0)=0$, но $x=0$ — точка перегиба: $f'(x)\ge 0$ всегда, знак не меняется.

Через вторую производную:

$$f''(x_0)>0 \Rightarrow x_0 \text{ — минимум}; \qquad f''(x_0)<0 \Rightarrow x_0 \text{ — максимум}$$

Если $f''(x_0)=0$ — вторая производная не даёт ответа, нужно смотреть смену знака $f'$.

Наибольшее и наименьшее значение на отрезке $[a;b]$

  1. Найти критические точки $f'(x)=0$ внутри $[a;b]$.
  2. Вычислить значения $f$ в этих точках и на обоих концах отрезка: $f(a)$, $f(b)$.
  3. Сравнить все полученные значения — наибольшее и наименьшее среди них и есть ответ.

Если критических точек внутри отрезка нет, функция монотонна на $[a;b]$, и наибольшее/наименьшее значения достигаются на концах отрезка. Важно не забыть проверить оба конца.

Первообразная

$F(x)$ — первообразная для $f(x)$, если $F'(x)=f(x)$. Множество всех первообразных: $F(x)+C$.

$$\int x^n\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}+C \quad (n\ne -1) \qquad \int \frac{dx}{x} = \ln|x|+C$$
$$\int \sin x\,dx = -\cos x + C \qquad \int \cos x\,dx = \sin x + C$$
$$\int \frac{dx}{\cos^2 x} = \operatorname{tg} x + C \qquad \int \frac{dx}{\sin^2 x} = -\operatorname{ctg} x + C$$
$$\int e^x\,dx = e^x + C \qquad \int a^x\,dx = \frac{a^x}{\ln a}+C$$

Линейность интеграла: $\displaystyle\int(\alpha f+\beta g)\,dx = \alpha\!\int f\,dx+\beta\!\int g\,dx$. Одно из применений — вычисление площади фигуры: $S=\displaystyle\int_a^b |f(x)|\,dx$.

Пример

Найти промежутки возрастания $f(x)=x^3-3x^2-9x$.

$f'(x)=3x^2-6x-9=3(x^2-2x-3)=3(x+1)(x-3)$. $f'(x)>0$ при $x<-1$ или $x>3$ — на этих промежутках функция возрастает.

Моделирование: от текстовой задачи к оптимизации (задание 17)

Отдельный тип заданий не даёт функцию готовой — её нужно построить самому по условию. Порядок действий всегда один:

  1. Обозначить переменную (обычно $x$) — то, что можно менять по условию.
  2. Выразить через $x$ все остальные величины задачи, используя данные ограничения (периметр, объём, площадь и т.п.).
  3. Записать целевую величину (то, что нужно максимизировать/минимизировать) как функцию от $x$.
  4. Найти её экстремум стандартно: $f'(x)=0$, проверить знак производной или знак $f''(x_0)$.
  5. Вернуться к смыслу задачи: указать не только $x$, но и то, что спрашивалось (объём, стоимость, время).
Пример 1 — геометрическая модель

Из квадратного листа жести со стороной 12 см вырезают по углам четыре одинаковых квадратика со стороной $x$ см и сгибают борта, получая открытую сверху коробку. При каком $x$ объём коробки наибольший?

Шаг 1-2. После вырезания и сгибания дно коробки — квадрат со стороной $(12-2x)$, высота — $x$.

Шаг 3. $V(x) = x(12-2x)^2$, область определения $0

Шаг 4. $V(x)=4x^3-48x^2+144x$, $V'(x)=12x^2-96x+144=12(x^2-8x+12)=12(x-2)(x-6)$. На $(0;6)$ производная меняет знак с «$+$» на «$-$» в точке $x=2$ — это точка максимума.

Шаг 5. $V(2)=2\cdot 8^2=128$ см³.

Ответ: $x=2$ см, наибольший объём — $128$ см³.

Пример 2 — экономическая модель

Затраты предприятия на выпуск партии деталей (в тысячах рублей) выражаются формулой $C(x) = \dfrac{100}{x} + 4x + 20$, где $x$ — количество деталей (в сотнях штук), $x>0$. При каком $x$ затраты минимальны?

Здесь функция уже дана — задача сразу переходит к шагу 4: $C'(x) = -\dfrac{100}{x^2}+4$.

$C'(x)=0 \Rightarrow x^2=25 \Rightarrow x=5$ (второй корень $x=-5$ не подходит по смыслу, $x>0$).

При переходе через $x=5$ знак $C'$ меняется с «$-$» на «$+$» — это минимум.

$C(5) = 20+20+20=60$.

Ответ: $x=5$ (500 деталей), минимальные затраты — $60$ тыс. руб.

Важно

Не забывать область определения по смыслу задачи: сторона, время, количество деталей не могут быть отрицательными. Корень уравнения $f'(x)=0$, не подходящий по смыслу, отбрасывается ещё до проверки знака производной.

← 31. Производная. Таблица. Касательная