Треугольник высота, медиана, биссектриса. Подобие

Медиана, биссектриса, высота

В треугольнике $ABC$ со сторонами $a=BC$, $b=CA$, $c=AB$ определены три важные линии: медиана (соединяет вершину с серединой противоположной стороны), биссектриса (делит угол пополам) и высота (перпендикуляр к противоположной стороне).

1. Медиана

Определение: отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны.

• Медиана делит треугольник на два равновеликих (равных по площади) треугольника.
• Все три медианы пересекаются в одной точке (центроид, точка $G$).
• Центроид делит каждую медиану в отношении $2:1$, считая от вершины: $AG:GD = 2:1$.
• В прямоугольном треугольнике медиана, проведённая к гипотенузе, равна половине гипотенузы.
• Длина медианы: $m_a = \dfrac{1}{2}\sqrt{2b^2 + 2c^2 - a^2}$.

2. Биссектриса

Определение: отрезок, который делит угол треугольника пополам.

• Все три биссектрисы пересекаются в одной точке — центре вписанной окружности.
• Теорема о биссектрисе: биссектриса угла $A$ делит противоположную сторону $BC$ на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам: $\dfrac{BD}{DC} = \dfrac{AB}{AC} = \dfrac{c}{b}$.
• Длина биссектрисы: $l_a^2 = bc\left(1 - \dfrac{a^2}{(b+c)^2}\right)$.

3. Высота

Определение: перпендикуляр, опущенный из вершины на противоположную сторону (или её продолжение).

• В остроугольном треугольнике все три высоты пересекаются внутри треугольника.
• В тупоугольном треугольнике две высоты падают на продолжения сторон.
• Высота, опущенная на гипотенузу прямоугольного треугольника: $h = \dfrac{ab}{c}$, где $a,b$ — катеты, $c$ — гипотенуза.
• В прямоугольном треугольнике высота, проведённая к гипотенузе, делит её на отрезки $p$ и $q$, причём $h^2 = p \cdot q$.
• Длина высоты: $h_a = \dfrac{2S}{a}$.