Окружность углы, хорды, касательные, секущие

Центральный угол = дуга, вписанный угол = ½ дуги

ТГ-каналПодписывайся · там же запись на вводный урок t.me/algo_math ↗

Углы в окружности

Центральный и вписанный углы

Центральный угол — угол с вершиной в центре окружности. Он равен дуге, на которую опирается.

Вписанный угол — угол с вершиной на окружности, стороны которого пересекают окружность.

$$\text{Вписанный угол} = \frac{1}{2} \cdot \text{дуга, на которую он опирается}$$

$$\text{Вписанный угол} = \frac{1}{2} \cdot \text{центральный угол, опирающийся на ту же дугу}$$

Важно

Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны между собой.

Вписанный угол, опирающийся на диаметр (полуокружность), равен $90^\circ$ (теорема Фалеса).

Пример

Вписанный угол опирается на дугу $80^\circ$. Найдите величину угла.

Вписанный угол равен половине дуги: $\dfrac{80^\circ}{2}=40^\circ$.

Ответ: $40^\circ$.

Угол между хордами

Если две хорды $AB$ и $CD$ пересекаются внутри окружности в точке $P$, то:

$$\angle APC = \frac{\smile AC + \smile BD}{2}$$

То есть угол между пересекающимися хордами равен полусумме дуг, заключённых между его сторонами.

Угол между секущими

Если две секущие пересекаются вне окружности, то угол между ними равен полуразности дуг, заключённых между их сторонами:

$$\angle APB = \frac{\smile AB - \smile CD}{2}$$

Угол между касательной и хордой

Угол между касательной и хордой, проведённой через точку касания, равен половине дуги, заключённой внутри этого угла.

$$\angle CAK = \frac{1}{2} \smile AB$$

Свойства касательных и секущих

Касательная и радиус

Касательная — прямая, имеющая с окружностью ровно одну общую точку.

$$\text{Радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной}$$

Две касательные из одной точки

Если из точки $P$ к окружности проведены две касательные $PA$ и $PB$, то:

$$PA = PB$$

Отрезки касательных, проведённых из одной точки, равны.

Касательная и секущая

Если из точки $P$ проведены касательная $PA$ и секущая, пересекающая окружность в точках $B$ и $C$, то:

$$PA^2 = PB \cdot PC$$

где $PB$ — внешняя часть секущей (от $P$ до ближайшей точки пересечения с окружностью), $PC$ — вся секущая.

Две секущие из одной точки

Если из точки $P$ проведены две секущие, пересекающие окружность в точках $A,B$ и $C,D$, то:

$$PA \cdot PB = PC \cdot PD$$

Пересекающиеся хорды

Если две хорды $AB$ и $CD$ пересекаются в точке $P$, то:

$$PA \cdot PB = PC \cdot PD$$

Пример

Из точки $P$ к окружности проведена касательная $PA$ ($A$ — точка касания) и секущая, пересекающая окружность в точках $B$ и $C$ ($B$ ближе к $P$). Известно, что $PB = 4$, $BC = 5$. Найдите длину касательной $PA$.

$PC = PB + BC = 4 + 5 = 9$.
По теореме о касательной и секущей: $PA^2 = PB \cdot PC = 4 \cdot 9 = 36$.
$PA = \sqrt{36} = 6$.

Ответ: $PA = 6$.

← 33. Треугольник высота, медиана, биссектрис… 35. Вписанная и описанная окружности →