← Маршрут ЕГЭ
Тема 35 из 72 · Планиметрия

Вписанная и описанная окружности

R=abc/4S, r=S/p, вписанная и описанная окружность

ТГ-каналПодписывайся · там же запись на вводный урок t.me/algo_math ↗

Описанная окружность

Описанная окружность проходит через все вершины многоугольника. Её центр — точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам.

$$R=\frac{a}{2\sin A}\qquad(\text{для треугольника, } a=BC)$$

Условие вписываемости четырёхугольника в окружность: сумма противоположных углов равна $180^\circ$. Параллелограмм можно вписать в окружность, только если он прямоугольник.

Вписанная окружность

Вписанная окружность касается каждой стороны многоугольника изнутри. Её центр — точка пересечения биссектрис (инцентр).

$$r=\frac{S}{p},\qquad p=\frac{a+b+c}{2}$$
Важно

$S=p\cdot r$ — удобно применять, когда известны $p$ и $r$. Обратно: $r=\dfrac{S}{p}$. Для треугольника со сторонами 3-4-5: $p=6$, $S=6$, $r=1$.

Важно

Условие вписываемости окружности в четырёхугольник: сумма противоположных сторон равна, $AB+CD=BC+DA$.

Пример

Треугольник со сторонами 5, 6, 7. Найдите радиусы вписанной и описанной окружностей.

  1. $p=\dfrac{5+6+7}{2}=9$, $S=\sqrt{9\cdot4\cdot3\cdot2}=6\sqrt6$.
  2. $r=\dfrac{S}{p}=\dfrac{6\sqrt6}{9}=\dfrac{2\sqrt6}{3}$.
  3. $R=\dfrac{abc}{4S}=\dfrac{5\cdot6\cdot7}{4\cdot6\sqrt6}=\dfrac{210}{24\sqrt6}=\dfrac{35\sqrt6}{24}$.

Ответ: $r=\dfrac{2\sqrt6}{3}$; $R=\dfrac{35\sqrt6}{24}$.

Пример

Правильный шестиугольник со стороной 4. Найдите $R$ и $r$.

  1. Для правильного шестиугольника $R=a=4$.
  2. $r=\dfrac{a}{2\operatorname{tg}(\pi/6)}=\dfrac{4}{2\cdot\frac{1}{\sqrt3}}=2\sqrt3$.

Ответ: $R=4$; $r=2\sqrt3$.

← 34. Окружность углы, хорды, касательные, се…