← Маршрут ЕГЭ
Тема 36 из 72 · Планиметрия

Теоремы синусов, косинусов, Пифагора

a/sinA=2R, c²=a²+b²−2ab·cosC

ТГ-каналПодписывайся · там же запись на вводный урок t.me/algo_math ↗

Теорема Пифагора

В прямоугольном треугольнике сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы:

$$a^2+b^2=c^2$$

Обратная теорема: если $a^2+b^2=c^2$, то треугольник прямоугольный.

Пифагоровы тройки: $3\text{-}4\text{-}5$; $5\text{-}12\text{-}13$; $8\text{-}15\text{-}17$; $6\text{-}8\text{-}10$; $7\text{-}24\text{-}25$.

Применение: нахождение диагонали прямоугольника, высоты правильного треугольника, расстояния между точками.

Теорема синусов

$$\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R$$

Применение: известны сторона и два угла — находим другие стороны; известны угол и противолежащая сторона.

Важно

При нахождении угла через теорему синусов $\sin A=\dfrac{a\sin B}{b}$ возможны ДВА решения, так как $\sin A=\sin(\pi-A)$. Всегда проверяйте сумму углов треугольника ($180^\circ$).

Теорема косинусов

$$c^2=a^2+b^2-2ab\cos C$$

При $C=90^\circ$: $c^2=a^2+b^2$ — теорема Пифагора как частный случай.

Применение: известны три стороны — находим угол; известны две стороны и угол между ними — находим третью сторону.

Теорема косинусов — обобщение теоремы Пифагора. Если угол тупой ($C>90^\circ$), то $\cos C<0$, значит $c^2>a^2+b^2$. Если угол острый — $c^2

Важно

Самый частый тип в ЕГЭ: даны три стороны — найти угол через теорему косинусов. Или: даны две стороны и угол между ними — найти третью сторону.

Пример

Катеты прямоугольного треугольника равны 5 и 12. Найдите гипотенузу.

  1. $c=\sqrt{5^2+12^2}=\sqrt{169}=13$.

Ответ: $c=13$.

Пример

Стороны треугольника 5, 7, 8. Найдите наибольший угол.

  1. Наибольший угол лежит против наибольшей стороны — против стороны 8.
  2. $\cos C=\dfrac{5^2+7^2-8^2}{2\cdot5\cdot7}=\dfrac{25+49-64}{70}=\dfrac{10}{70}=\dfrac17$.
  3. $C=\arccos\dfrac17$.

Ответ: $C=\arccos\dfrac17$.

Пример

В треугольнике $a=6$, $A=30^\circ$, $B=45^\circ$. Найдите сторону $b$.

  1. $\dfrac{a}{\sin A}=\dfrac{b}{\sin B}\ \Rightarrow\ b=\dfrac{6\sin45^\circ}{\sin30^\circ}=\dfrac{6\cdot\frac{\sqrt2}{2}}{\frac12}=6\sqrt2$.

Ответ: $b=6\sqrt2$.

← 35. Вписанная и описанная окружности