← Маршрут ЕГЭ
Тема 37 из 72 · Планиметрия

Теоремы Менелая, Чевы, Стюарта. Медиана и биссектриса

Теорема Менелая, теорема Чевы, формула Стюарта

ТГ-каналПодписывайся · там же запись на вводный урок t.me/algo_math ↗

Теорема Менелая

Если прямая пересекает стороны $BC$, $CA$, $AB$ треугольника $ABC$ (или их продолжения) в точках $D$, $E$, $F$, то:

$$\frac{BD}{DC}\cdot\frac{CE}{EA}\cdot\frac{AF}{FB}=1$$

Применение: найти отношение отрезков при пересечении прямой со сторонами.

Знаковое правило: отрезок положительный, если точка деления лежит между вершинами, и отрицательный — если на продолжении стороны. На практике в ЕГЭ используют абсолютные значения, а произведение равно 1.

Теорема Чевы

Отрезки $AD$, $BE$, $CF$ (чевианы) в треугольнике $ABC$ пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда:

$$\frac{BD}{DC}\cdot\frac{CE}{EA}\cdot\frac{AF}{FB}=1$$

Медианы, биссектрисы и высоты треугольника — частные случаи чевиан, поэтому все три медианы (аналогично биссектрисы и высоты) пересекаются в одной точке.

Отличие от теоремы Менелая: теорема Чевы — про чевианы, пересекающиеся в одной точке; Менелая — про точки пересечения прямой со сторонами (секущая).

Формулы длин медианы и биссектрисы

Медиана $m_a$ — отрезок из вершины $A$ в середину стороны $BC$.

$$m_a=\frac12\sqrt{2b^2+2c^2-a^2}$$

где $a=BC$, $b=CA$, $c=AB$.

Биссектриса $l_a$ — отрезок из вершины $A$ в точку на стороне $BC$, делящий угол $A$ пополам.

$$l_a^2=bc\left[1-\left(\frac{a}{b+c}\right)^2\right]$$

где $a=BC$, $b=CA$, $c=AB$.

Теорема Стюарта

Теорема Стюарта — это обобщённая формула, которая позволяет найти длину любой чевианы (отрезка из вершины к противоположной стороне).

Формулировка: Пусть в треугольнике $ABC$ на стороне $BC$ взята точка $D$, причём $BD = m$, $DC = n$, $BC = a = m + n$. Тогда для длины чевианы $AD = d$ выполняется:

$$b^2 m + c^2 n = a(d^2 + mn)$$

или в другом виде:

$$d^2 = \frac{b^2 m + c^2 n}{a} - mn$$

Частные случаи теоремы Стюарта:

  • Если $D$ — середина $BC$, то $m = n = \dfrac{a}{2}$. Подстановка даёт формулу медианы:
    • $$m_a = \frac12\sqrt{2b^2+2c^2-a^2}$$
  • Если $AD$ — биссектриса, то по теореме о биссектрисе: $\dfrac{BD}{DC} = \dfrac{c}{b}$. Подстановка даёт формулу биссектрисы:
    • $$l_a^2 = bc\left[1-\left(\frac{a}{b+c}\right)^2\right]$$
Пример (медиана)

В треугольнике со сторонами $5, 6, 7$ найдите медиану, проведённую к стороне $7$.

  1. $a=7$, $b=5$, $c=6$.
  2. $m_7^2=\dfrac{2\cdot5^2+2\cdot6^2-7^2}{4}=\dfrac{50+72-49}{4}=\dfrac{73}{4}$.
  3. $m_7=\dfrac{\sqrt{73}}{2}\approx4{,}27$.

Ответ: $m_7=\dfrac{\sqrt{73}}{2}$.

Пример (биссектриса)

Найдите биссектрису треугольника со сторонами $b=14$, $c=10$, $a=12$ (биссектриса проведена из вершины между сторонами $b$ и $c$).

  1. $l_a^2=bc\left[1-\left(\dfrac{a}{b+c}\right)^2\right]=14\cdot10\left[1-\left(\dfrac{12}{24}\right)^2\right]=140\left(1-\dfrac14\right)=140\cdot\dfrac34=105$.
  2. $l_a=\sqrt{105}\approx10{,}25$.

Ответ: $l_a=\sqrt{105}$.

Пример (теорема Стюарта)

В треугольнике $ABC$ сторона $BC = 10$, $AB = 8$, $AC = 6$. Точка $D$ на $BC$ такая, что $BD = 4$, $DC = 6$. Найдите длину отрезка $AD$.

  1. $a=10$, $b=6$, $c=8$, $m=4$, $n=6$.
  2. По теореме Стюарта: $b^2 m + c^2 n = a(d^2 + mn)$.
  3. $6^2 \cdot 4 + 8^2 \cdot 6 = 10(d^2 + 4 \cdot 6)$.
  4. $36 \cdot 4 + 64 \cdot 6 = 10(d^2 + 24)$.
  5. $144 + 384 = 10(d^2 + 24)$ → $528 = 10d^2 + 240$.
  6. $10d^2 = 288$ → $d^2 = 28{,}8$ → $d = \sqrt{28{,}8} \approx 5{,}37$.

Ответ: $AD \approx 5{,}37$.

← 36. Теоремы синусов, косинусов, Пифагора