Площади всех фигур. Длина окружности и дуги

Площади плоских фигур

1. Треугольник

• Через основание и высоту: $S = \dfrac{1}{2} a h$
• Через две стороны и угол между ними: $S = \dfrac{1}{2} a b \sin C$
• Формула Герона: $S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$, где $p = \dfrac{a+b+c}{2}$
• Через радиус описанной окружности: $S = \dfrac{abc}{4R}$
• Через радиус вписанной окружности: $S = p r$

Частные случаи:

• Прямоугольный: $S = \dfrac{1}{2} a b$ (где $a,b$ — катеты)
• Равносторонний: $S = \dfrac{a^2 \sqrt{3}}{4}$
• Равнобедренный: $S = \dfrac{1}{2} a^2 \sin \alpha$ (где $a$ — боковая сторона, $\alpha$ — угол при вершине)

2. Четырёхугольники

Прямоугольник: $S = a b$

Квадрат: $S = a^2 = \dfrac{d^2}{2}$

Параллелограмм:

• $S = a h$ — через сторону и высоту
• $S = a b \sin \alpha$ — через две стороны и угол между ними
• $S = \dfrac{1}{2} d_1 d_2 \sin \varphi$ — через диагонали и угол между ними

Ромб:

• $S = a h$
• $S = a^2 \sin \alpha$
• $S = \dfrac{d_1 d_2}{2}$ — диагонали перпендикулярны!

Трапеция: $S = \dfrac{a+b}{2} \cdot h = m \cdot h$, где $m$ — средняя линия

Произвольный четырёхугольник: $S = \dfrac{1}{2} d_1 d_2 \sin \varphi$ (через диагонали и угол между ними)

3. Круг и его части

Круг: $S = \pi R^2$

Сектор: $S = \dfrac{\alpha}{360^\circ} \cdot \pi R^2 = \dfrac{\alpha}{2} R^2$ ($\alpha$ в радианах)

Сегмент: $S = S_{\text{сектора}} - S_{\text{треугольника}}$ (площадь сектора минус площадь треугольника, образованного радиусами и хордой)

Длина дуги: $l = \alpha R$ ($\alpha$ в радианах)

4. Примеры