Тема 39 из 72 · Планиметрия

Метод площадей. Тригонометрия в планиметрии

Отношение площадей при общей вершине/основании, S=½ab·sinC в планиметрии

ТГ-каналПодписывайся · там же запись на вводный урок t.me/algo_math ↗

Метод площадей

Суть метода: одну и ту же площадь фигуры можно выразить разными способами. Приравнивая эти выражения, получаем уравнение для нахождения неизвестной величины (высоты, стороны, радиуса и т.д.).

Основная идея: если фигуру можно разбить на части, то площадь всей фигуры равна сумме площадей её частей. Это простое правило часто даёт уравнение для нахождения неизвестной величины.

Основные приёмы метода площадей

Общая высота: если два треугольника имеют общую высоту, то их площади относятся как основания: $\dfrac{S_1}{S_2} = \dfrac{a_1}{a_2}$.
Общее основание: если два треугольника имеют общее основание, то их площади относятся как высоты: $\dfrac{S_1}{S_2} = \dfrac{h_1}{h_2}$.
Медиана: медиана делит треугольник на два равновеликих (равных по площади) треугольника. Медианы делят треугольник на 6 равновеликих треугольников.
Диагональ параллелограмма: диагональ параллелограмма делит его на два равновеликих треугольника.
Общая вершина: если два треугольника имеют общую вершину и их основания лежат на одной прямой, то их площади относятся как основания.

Типовые схемы применения метода площадей

Схема 1. Нахождение высоты через площадь

Если известна площадь треугольника и одна сторона, то высота к этой стороне:

$$h_a = \frac{2S}{a}$$

Схема 2. Выражение высоты через две стороны и угол

$S = \dfrac{1}{2} a h = \dfrac{1}{2} b c \sin A$, отсюда:

$$h = \frac{bc\sin A}{a}$$

Схема 3. Отношение площадей при общей высоте

$$\frac{S_1}{S_2} = \frac{a_1}{a_2}$$

Схема 4. Отношение площадей при общем основании

$$\frac{S_1}{S_2} = \frac{h_1}{h_2}$$

Тригонометрия в планиметрии

Частый приём: высоту треугольника можно найти как $h = c \sin A$, где $c$ — смежная сторона, $A$ — угол при основании. Затем $S = \dfrac{1}{2} a h$.

Площадь треугольника через две стороны и угол между ними:

$$S = \frac{1}{2} ab\sin C$$

Это одна из самых частых формул в задачах на метод площадей.

Координатный (векторный) метод

Задаём систему координат, записываем вершины как точки, применяем формулы координатной геометрии. Эффективен для задач с конкретными числами.

Площадь треугольника по координатам вершин:

$$S = \frac{1}{2}\left|x_1(y_2-y_3) + x_2(y_3-y_1) + x_3(y_1-y_2)\right|$$

Расстояние от точки до прямой:

$$d = \frac{|ax_0 + by_0 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$$

Примеры

Пример 1 (общая высота)

Два треугольника имеют общую высоту. Их основания равны 5 и 7. Найдите отношение их площадей.

При одинаковой высоте: $\dfrac{S_1}{S_2} = \dfrac{5}{7}$.

Ответ: $5:7$.

Пример 2 (выражение высоты)

В треугольнике $ABC$ сторона $AB = 10$, $AC = 6$, угол между ними $30^\circ$. Найдите высоту, опущенную на сторону $AB$.

Площадь через две стороны и угол: $S = \dfrac{1}{2} \cdot 10 \cdot 6 \cdot \sin 30^\circ = \dfrac{1}{2} \cdot 10 \cdot 6 \cdot \dfrac{1}{2} = 15$.
С другой стороны: $S = \dfrac{1}{2} \cdot AB \cdot h = \dfrac{1}{2} \cdot 10 \cdot h = 5h$.
Приравниваем: $5h = 15 \Rightarrow h = 3$.

Ответ: $h = 3$.

Пример 3 (медиана)

В треугольнике $ABC$ проведена медиана $BM$. Площадь треугольника $ABC$ равна 40. Найдите площадь треугольника $ABM$.

Медиана делит треугольник на два равновеликих: $S_{ABM} = S_{MBC} = \dfrac{S_{ABC}}{2} = 20$.

Ответ: $S_{ABM} = 20$.

Пример 4 (тригонометрия + метод площадей)

В треугольнике $AB = 8$, $BC = 6$, угол между ними $60^\circ$. Найдите площадь и высоту, проведённую из $B$ на сторону $AC$.

$S = \dfrac{1}{2} \cdot 8 \cdot 6 \cdot \sin 60^\circ = 24 \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2} = 12\sqrt{3}$.
Из теоремы косинусов найдём $AC$: $AC^2 = 8^2 + 6^2 - 2 \cdot 8 \cdot 6 \cdot \cos 60^\circ = 64 + 36 - 48 = 52$ → $AC = 2\sqrt{13}$.
Высота из $B$: $h = \dfrac{2S}{AC} = \dfrac{24\sqrt{3}}{2\sqrt{13}} = \dfrac{12\sqrt{3}}{\sqrt{13}} = \dfrac{12\sqrt{39}}{13}$.

Ответ: $S = 12\sqrt{3}$, $h = \dfrac{12\sqrt{39}}{13}$.

Пример 5 (координатный метод)

Даны точки $A(0,0)$, $B(4,0)$, $C(1,3)$. Найдите площадь треугольника.

$S = \dfrac{1}{2}\left|0(0-3) + 4(3-0) + 1(0-0)\right| = \dfrac{1}{2}|12| = 6$.

Ответ: $S = 6$.

Важно

Метод площадей — один из самых универсальных инструментов в планиметрии. Если в задаче есть неизвестная высота, сторона или радиус — попробуй выразить площадь двумя разными способами и приравнять.

← 38. Площади всех фигур. Длина окружности и … 40. Разбор сложных задач №18 →