Рациональные уравнения. Метод замены

Дробно-рациональные уравнения, ОДЗ. Задание №9

ТГ-каналПодписывайся · там же запись на вводный урок t.me/algo_math ↗

Рациональные уравнения. Метод замены

Рациональное уравнение — это уравнение, содержащее дроби с переменной в знаменателе.

Важно запомнить!

В рациональных уравнениях ОДЗ — это первое и самое важное действие! Без ОДЗ можно получить посторонние корни.

1. Алгоритм решения дробно-рациональных уравнений

Найти ОДЗ: все значения переменной, при которых знаменатели не равны нулю
Умножить обе части уравнения на общий знаменатель (избавиться от дробей)
Решить получившееся уравнение (линейное или квадратное)
Проверить корни по ОДЗ — отбросить посторонние
Записать ответ — только те корни, которые входят в ОДЗ

$$\frac{A}{B} = 0 \iff A = 0, \quad B \neq 0$$

Важно!

Дробь равна нулю ТОЛЬКО когда числитель равен нулю, а знаменатель НЕ равен нулю!

2. Простейшие рациональные уравнения

Пример 1 (дробь равна нулю)

Решите уравнение: $\dfrac{x^2 - 4}{x - 2} = 0$

ОДЗ: $x - 2 \neq 0 \Rightarrow x \neq 2$
Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю: $x^2 - 4 = 0$
$x^2 = 4 \Rightarrow x = \pm 2$
Проверка по ОДЗ: $x = 2$ не подходит (знаменатель обращается в ноль)
$x = -2$ подходит

Ответ: $x = -2$

Пример 2 (дробь равна числу)

Решите уравнение: $\dfrac{2}{x-1} = 3$

ОДЗ: $x - 1 \neq 0 \Rightarrow x \neq 1$
Умножаем обе части на $(x-1)$: $2 = 3(x-1)$
$2 = 3x - 3$
$3x = 5 \Rightarrow x = \dfrac{5}{3}$
Проверка по ОДЗ: $\dfrac{5}{3} \neq 1$ ✓

Ответ: $x = \dfrac{5}{3}$

3. Рациональные уравнения с несколькими дробями

Пример 3 (сумма дробей)

Решите уравнение: $\dfrac{x}{x-2} + \dfrac{1}{x} = \dfrac{2}{x^2 - 2x}$

ОДЗ: $x \neq 0$, $x \neq 2$
Заметим: $x^2 - 2x = x(x-2)$ — это общий знаменатель
Умножаем обе части на $x(x-2)$: $x \cdot x + (x-2) \cdot 1 = 2$
$x^2 + x - 2 = 2$
$x^2 + x - 4 = 0$
$D = 1 + 16 = 17$
$x = \dfrac{-1 \pm \sqrt{17}}{2}$
Проверка по ОДЗ: оба корня $\neq 0$ и $\neq 2$ ✓

Ответ: $x = \dfrac{-1 \pm \sqrt{17}}{2}$

Пример 4 (сложение дробей)

Решите уравнение: $\dfrac{2x}{x+1} - \dfrac{3}{x-1} = \dfrac{2x^2}{x^2-1}$

ОДЗ: $x \neq \pm 1$
$x^2-1 = (x-1)(x+1)$ — общий знаменатель
Умножаем обе части на $(x-1)(x+1)$: $2x(x-1) - 3(x+1) = 2x^2$
$2x^2 - 2x - 3x - 3 = 2x^2$
$-5x - 3 = 0$
$x = -\dfrac{3}{5}$
Проверка по ОДЗ: $-\dfrac{3}{5} \neq \pm 1$ ✓

Ответ: $x = -\dfrac{3}{5}$

4. Метод замены переменной

Когда применять: когда в уравнении есть повторяющееся выражение.

Алгоритм:

Найти повторяющееся выражение
Обозначить его новой переменной (например, $t$)
Решить полученное уравнение относительно $t$
Вернуться к исходной переменной
Проверить корни по ОДЗ

Пример 5 (замена переменной)

Решите уравнение: $\left(\dfrac{x}{x-1}\right)^2 - 5\dfrac{x}{x-1} + 4 = 0$

ОДЗ: $x \neq 1$
Замена: $t = \dfrac{x}{x-1}$
$t^2 - 5t + 4 = 0$
По теореме Виета: $t_1 = 1$, $t_2 = 4$
Возвращаемся к $x$: $\dfrac{x}{x-1} = 1 \Rightarrow x = x-1$ — нет решений $\dfrac{x}{x-1} = 4 \Rightarrow x = 4(x-1)$
$x = 4x - 4 \Rightarrow 3x = 4 \Rightarrow x = \dfrac{4}{3}$
Проверка по ОДЗ: $\dfrac{4}{3} \neq 1$ ✓

Ответ: $x = \dfrac{4}{3}$

Пример 6 (замена переменной)

Решите уравнение: $\dfrac{x^2}{x^2-4} + \dfrac{4}{x^2-4} = \dfrac{5}{x^2-4}$

ОДЗ: $x^2 - 4 \neq 0 \Rightarrow x \neq \pm 2$
Умножаем на $(x^2-4)$: $x^2 + 4 = 5$
$x^2 = 1$
$x = \pm 1$
Проверка по ОДЗ: $\pm 1 \neq \pm 2$ ✓

Ответ: $x = \pm 1$

5. Посторонние корни

Важно!

Посторонний корень — это корень, полученный после умножения на общий знаменатель, но который обращает знаменатель в ноль. Всегда проверяйте ОДЗ!

Пример 7 (посторонний корень)

Решите уравнение: $\dfrac{x^2-1}{x-1} = 0$

ОДЗ: $x \neq 1$
Дробь равна нулю: $x^2 - 1 = 0$
$x = \pm 1$
Проверка по ОДЗ: $x = 1$ не подходит (посторонний корень)
$x = -1$ подходит

Ответ: $x = -1$

Пример 8 (все корни посторонние)

Решите уравнение: $\dfrac{x}{x-2} = \dfrac{2}{x-2}$

ОДЗ: $x \neq 2$
Умножаем на $(x-2)$: $x = 2$
Проверка по ОДЗ: $x = 2$ не подходит (посторонний корень)
Корней нет

Ответ: корней нет

6. Таблица типов рациональных уравнений

Тип	Пример	Метод решения
Дробь = 0	$\dfrac{x^2-4}{x-2} = 0$	Числитель = 0, проверить ОДЗ
Дробь = число	$\dfrac{2}{x-1} = 3$	Умножить на знаменатель
Сумма дробей	$\dfrac{x}{x-2} + \dfrac{1}{x} = \dfrac{2}{x^2-2x}$	Привести к общему знаменателю
С заменой	$\left(\dfrac{x}{x-1}\right)^2 - 5\dfrac{x}{x-1} + 4 = 0$	Замена $t = \dfrac{x}{x-1}$

← 9. Линейные и квадратные уравнения 11. Линейные неравенства. Системы неравенств →