← Маршрут ОГЭ
Тема 9 из 72 · Алгебра

Линейные и квадратные уравнения

Основные типы уравнений; задачи про шины (№1-5). Задание №9

ТГ-каналПодписывайся · там же запись на вводный урок t.me/algo_math ↗
Содержание 10 разделов
  1. Линейные и квадратные уравнения
  2. 1. Линейные уравнения
  3. 2. Квадратные уравнения
  4. 3. Неполные квадратные уравнения
  5. 4. Биквадратные уравнения
  6. 5. Сравнение способов решения
  7. Практико-ориентированные задачи: бумага, печи, тарифы, шины
  8. Задачи про шины — полный разбор
  9. Дополнительные задачи про шины
  10. Ключевые факты для задач на шины

Линейные и квадратные уравнения

Уравнение — это равенство, содержащее неизвестную величину (обычно $x$), которую нужно найти.

Важно запомнить!

Решение уравнения — это число (или числа), при подстановке которого в уравнение получается верное равенство.

1. Линейные уравнения

Линейное уравнение — это уравнение вида $ax + b = 0$, где $a \neq 0$.

Алгоритм решения:

  1. Раскрыть скобки (если есть)
  2. Перенести все слагаемые с $x$ в левую часть, числа — в правую (при переносе меняем знак)
  3. Привести подобные слагаемые
  4. Разделить обе части на коэффициент при $x$
$$ax + b = 0 \implies x = -\frac{b}{a} \quad (a \neq 0)$$
Пример 1 (простое линейное уравнение)

Решите уравнение: $2x + 5 = 13$

  1. Переносим 5 в правую часть: $2x = 13 - 5$
  2. $2x = 8$
  3. Делим на 2: $x = 4$
  4. Проверка: $2 \cdot 4 + 5 = 8 + 5 = 13$ ✓

Ответ: $x = 4$

Пример 2 (со скобками)

Решите уравнение: $3(x - 2) = 2x + 5$

  1. Раскрываем скобки: $3x - 6 = 2x + 5$
  2. Переносим $2x$ влево, $-6$ вправо: $3x - 2x = 5 + 6$
  3. $x = 11$
  4. Проверка: $3(11-2) = 3 \cdot 9 = 27$ и $2 \cdot 11 + 5 = 22 + 5 = 27$ ✓

Ответ: $x = 11$

Пример 3 (с дробями)

Решите уравнение: $\dfrac{x}{2} + \dfrac{x}{3} = 5$

  1. Умножаем обе части на 6 (НОК 2 и 3): $3x + 2x = 30$
  2. $5x = 30$
  3. $x = 6$
  4. Проверка: $\dfrac{6}{2} + \dfrac{6}{3} = 3 + 2 = 5$ ✓

Ответ: $x = 6$

2. Квадратные уравнения

Квадратное уравнение — это уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$, где $a \neq 0$.

Способы решения:

1) Через дискриминант (универсальный способ):

$$D = b^2 - 4ac$$
$$x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$$

2) По теореме Виета (для приведённых уравнений, где $a = 1$):

$$x^2 + px + q = 0$$
$$x_1 + x_2 = -p, \quad x_1 \cdot x_2 = q$$
Важно!

Теорема Виета работает только если $a = 1$ (приведённое уравнение). Если $a \neq 1$, сначала разделите всё уравнение на $a$.

Случаи дискриминанта:

  • $D > 0$ — два различных корня
  • $D = 0$ — один корень (два одинаковых)
  • $D < 0$ — корней нет (в рамках школьной программы)
Пример 4 (через дискриминант)

Решите уравнение: $2x^2 - 5x + 2 = 0$

  1. $a = 2, b = -5, c = 2$
  2. $D = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 - 16 = 9$
  3. $D > 0$, два корня
  4. $x = \dfrac{5 \pm \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \dfrac{5 \pm 3}{4}$
  5. $x_1 = \dfrac{5+3}{4} = \dfrac{8}{4} = 2$, $x_2 = \dfrac{5-3}{4} = \dfrac{2}{4} = \dfrac{1}{2}$
  6. Проверка: $2 \cdot 2^2 - 5 \cdot 2 + 2 = 8 - 10 + 2 = 0$ ✓

Ответ: $x_1 = 2$, $x_2 = \dfrac{1}{2}$

Пример 5 (по теореме Виета)

Решите уравнение: $x^2 - 5x + 6 = 0$

  1. $a = 1$, значит можно использовать теорему Виета
  2. $p = -5, q = 6$
  3. Ищем числа, произведение которых равно 6, а сумма равна 5
  4. Это 2 и 3: $2 + 3 = 5$, $2 \cdot 3 = 6$
  5. $x_1 = 2, x_2 = 3$

Ответ: $x_1 = 2$, $x_2 = 3$

Пример 6 ($D = 0$)

Решите уравнение: $x^2 - 6x + 9 = 0$

  1. $a = 1, b = -6, c = 9$
  2. $D = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 9 = 36 - 36 = 0$
  3. $D = 0$, один корень
  4. $x = \dfrac{6}{2} = 3$
  5. Проверка: $9 - 18 + 9 = 0$ ✓

Ответ: $x = 3$

Пример 7 ($D < 0$)

Решите уравнение: $x^2 + 2x + 5 = 0$

  1. $a = 1, b = 2, c = 5$
  2. $D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 4 - 20 = -16$
  3. $D < 0$, корней нет

Ответ: корней нет

3. Неполные квадратные уравнения

Неполные квадратные уравнения — это уравнения, в которых $b = 0$ или $c = 0$.

Случай 1: $ax^2 + bx = 0$ (выносим $x$ за скобку):

$$x(ax + b) = 0 \implies x = 0 \text{ или } ax + b = 0$$
Пример 8 (неполное уравнение)

Решите уравнение: $3x^2 - 6x = 0$

  1. Выносим $x$ за скобку: $x(3x - 6) = 0$
  2. $x = 0$ или $3x - 6 = 0$
  3. $3x = 6 \implies x = 2$

Ответ: $x_1 = 0$, $x_2 = 2$

Случай 2: $ax^2 + c = 0$ (переносим $c$ вправо):

$$x^2 = -\frac{c}{a}$$
Пример 9 (неполное уравнение)

Решите уравнение: $2x^2 - 8 = 0$

  1. $2x^2 = 8$
  2. $x^2 = 4$
  3. $x = \pm 2$

Ответ: $x_1 = 2$, $x_2 = -2$

Пример 10 (нет корней)

Решите уравнение: $x^2 + 4 = 0$

  1. $x^2 = -4$
  2. Квадрат числа не может быть отрицательным
  3. Корней нет

Ответ: корней нет

4. Биквадратные уравнения

Биквадратное уравнение — это уравнение вида $ax^4 + bx^2 + c = 0$.

Метод решения: замена $t = x^2$, $t \ge 0$.

Пример 11 (биквадратное)

Решите уравнение: $x^4 - 5x^2 + 4 = 0$

  1. Замена: $t = x^2$, $t \ge 0$
  2. $t^2 - 5t + 4 = 0$
  3. По теореме Виета: $t_1 = 1$, $t_2 = 4$
  4. Оба корня $t \ge 0$, подходят
  5. $x^2 = 1 \implies x = \pm 1$
  6. $x^2 = 4 \implies x = \pm 2$

Ответ: $x = \pm 1, \pm 2$

5. Сравнение способов решения

СпособКогда использоватьПреимущество
ДискриминантВсегдаУниверсальный
Теорема Виета$a = 1$Быстро, без вычислений
Вынесение $x$$c = 0$Очень быстро
Извлечение корня$b = 0$Очень быстро

Практико-ориентированные задачи: бумага, печи, тарифы, шины

В заданиях №1-5 ОГЭ встречаются задачи на:

  • Листы бумаги (форматы А0-А5, площади, массы)
  • Печи для бани (выбор печи по объёму, стоимость с установкой)
  • Тарифы связи (расчёт платы за месяц/год, выбор тарифа)
  • Шины (маркировка, диаметр, радиус, пробег)
Важно запомнить!

Все эти задачи требуют внимательного чтения условия и аккуратных вычислений. Часто нужно делать несколько шагов, чтобы получить ответ.

Задачи про шины — полный разбор

Маркировка шины: 195/60 R16

  • 195 — ширина шины (B) в мм
  • 60 — высота профиля (H) в % от ширины: H = B × 60%
  • R — радиальная конструкция
  • 16 — диаметр диска (d) в дюймах

Важно! 1 дюйм = 25,4 мм. Всегда переводим дюймы в миллиметры!

$$H = B \cdot \frac{p}{100}$$
$$D = 2H + d \cdot 25,4 \quad \text{(диаметр колеса в мм)}$$
$$R = H + \frac{d \cdot 25,4}{2} \quad \text{(радиус колеса в мм)}$$
Задача 1 (наименьшая ширина)

Шины какой наименьшей ширины можно устанавливать на автомобиль, если диаметр диска равен 17 дюймам?

  1. Смотрим в таблицу разрешённых размеров шин для диаметра 17 дюймов
  2. Допустимые ширины: 185 мм, 195 мм, 205 мм, 215 мм
  3. Наименьшая ширина: 185 мм

Ответ: 185 мм

Задача 2 (сравнение радиусов)

На сколько миллиметров радиус колеса с шиной маркировки 185/65 R16 больше, чем радиус колеса с шиной маркировки 215/55 R16?

  1. Шина 185/65 R16: $B_1 = 185$ мм, $p_1 = 65\%$, $d_1 = 16$ дюймов $H_1 = 185 \cdot 0,65 = 120,25$ мм $R_1 = 120,25 + \dfrac{16 \cdot 25,4}{2} = 120,25 + 203,2 = 323,45$ мм
  2. Шина 215/55 R16: $B_2 = 215$ мм, $p_2 = 55\%$, $d_2 = 16$ дюймов $H_2 = 215 \cdot 0,55 = 118,25$ мм $R_2 = 118,25 + \dfrac{16 \cdot 25,4}{2} = 118,25 + 203,2 = 321,45$ мм
  3. Разница: $R_1 - R_2 = 323,45 - 321,45 = 2$ мм

Ответ: 2 мм

Задача 3 (диаметр заводского колеса)

Найдите диаметр колеса автомобиля, выходящего с завода (маркировка 195/60 R16).

  1. $B = 195$ мм, $p = 60\%$, $d = 16$ дюймов
  2. $H = 195 \cdot 0,6 = 117$ мм
  3. $D = 2H + d \cdot 25,4 = 2 \cdot 117 + 16 \cdot 25,4 = 234 + 406,4 = 640,4$ мм

Ответ: 640,4 мм

Задача 4 (изменение диаметра)

На сколько миллиметров уменьшится диаметр колеса, если заменить колёса, установленные на заводе (195/60 R16), колёсами с шинами маркировки 205/50 R17?

  1. Заводская шина 195/60 R16: $D_1 = 640,4$ мм (из задачи 3)
  2. Новая шина 205/50 R17: $B_2 = 205$ мм, $p_2 = 50\%$, $d_2 = 17$ дюймов $H_2 = 205 \cdot 0,5 = 102,5$ мм $D_2 = 2 \cdot 102,5 + 17 \cdot 25,4 = 205 + 431,8 = 636,8$ мм
  3. Уменьшение: $D_1 - D_2 = 640,4 - 636,8 = 3,6$ мм

Ответ: 3,6 мм

Задача 5 (увеличение пробега в процентах)

На сколько процентов увеличится пробег автомобиля при одном обороте колеса, если заменить колёса, установленные на заводе (195/60 R16), колёсами с шинами маркировки 215/45 R18? Результат округлите до десятых.

  1. Заводская шина 195/60 R16: $D_1 = 640,4$ мм, $C_1 = \pi \cdot D_1$
  2. Новая шина 215/45 R18: $B_2 = 215$ мм, $p_2 = 45\%$, $d_2 = 18$ дюймов $H_2 = 215 \cdot 0,45 = 96,75$ мм $D_2 = 2 \cdot 96,75 + 18 \cdot 25,4 = 193,5 + 457,2 = 650,7$ мм $C_2 = \pi \cdot D_2$
  3. Пробег за один оборот = длине окружности колеса
  4. Составляем пропорцию: $\dfrac{C_1}{C_2} = \dfrac{100\%}{x\%} \Rightarrow x = \dfrac{C_2}{C_1} \cdot 100\%$
  5. $x = \dfrac{650,7}{640,4} \cdot 100\% \approx 101,6\%$
  6. Увеличение: $101,6\% - 100\% = 1,6\%$

Ответ: 1,6%

Дополнительные задачи про шины

Задача 6 (выбор автосервиса)

Дмитрий планирует заменить зимнюю резину на летнюю на своём автомобиле. Для каждого из четырёх колёс последовательно выполняются четыре операции: снятие колеса, замена шины, балансировка колеса и установка колеса. Он выбирает между автосервисами А и Б. Затраты на дорогу и стоимость операций даны в таблице. Сколько рублей заплатит Дмитрий за замену резины на своём автомобиле, если выберет самый дешёвый вариант?

АвтосервисЗатраты на дорогуСнятиеЗаменаБалансировкаУстановка
А250 руб.52 руб.270 руб.190 руб.52 руб.
Б430 руб.45 руб.250 руб.170 руб.45 руб.
  1. Стоимость для одного колеса в автосервисе А: $52 + 270 + 190 + 52 = 564$ руб.
  2. Стоимость для 4 колёс в автосервисе А: $564 \cdot 4 = 2256$ руб.
  3. Общая стоимость с учётом дороги: $2256 + 250 = 2506$ руб.
  4. Стоимость для одного колеса в автосервисе Б: $45 + 250 + 170 + 45 = 510$ руб.
  5. Стоимость для 4 колёс в автосервисе Б: $510 \cdot 4 = 2040$ руб.
  6. Общая стоимость с учётом дороги: $2040 + 430 = 2470$ руб.
  7. Выбираем наименьшую сумму: 2470 руб.

Ответ: 2470 рублей

Ключевые факты для задач на шины

  1. Маркировка шины: $B/p$ R $d$
  2. $B$ — ширина шины в мм
  3. $p$ — высота профиля в % от ширины
  4. $d$ — диаметр диска в дюймах
  5. 1 дюйм = 25,4 мм (обязательно переводим!)
  6. $H = B \cdot \dfrac{p}{100}$ — высота профиля
  7. $D = 2H + d \cdot 25,4$ — диаметр колеса
  8. $R = H + \dfrac{d \cdot 25,4}{2}$ — радиус колеса
  9. Пробег за один оборот = $C = \pi D$
  10. При сравнении шин: изменение диаметра = изменение пробега
← 8. Алгебраические дроби