← Маршрут ОГЭ
Тема 8 из 72 · Алгебра

Алгебраические дроби

Сокращение, сложение, умножение дробей с переменными. Задание №8

ТГ-каналПодписывайся · там же запись на вводный урок t.me/algo_math ↗

Алгебраические дроби

Алгебраическая дробь — это дробь, в числителе и/или знаменателе которой стоят переменные.

Важно запомнить!

Алгебраические дроби — это те же обыкновенные дроби, но с буквами. Все правила действий с дробями остаются теми же!

1. Область допустимых значений (ОДЗ)

ОДЗ — это все значения переменной, при которых дробь имеет смысл.

Правило: Знаменатель дроби НЕ может быть равен нулю!

$$\text{ОДЗ: } \text{знаменатель} \neq 0$$
Пример 1 (нахождение ОДЗ)

Найдите ОДЗ дроби: $\dfrac{x+3}{x-5}$

  1. Знаменатель: $x-5$
  2. Знаменатель не может быть равен нулю: $x-5 \neq 0$
  3. $x \neq 5$

Ответ: $x \neq 5$

Пример 2 (нахождение ОДЗ)

Найдите ОДЗ дроби: $\dfrac{x^2+1}{(x-2)(x+3)}$

  1. Знаменатель: $(x-2)(x+3)$
  2. Произведение равно нулю, когда хотя бы один множитель равен нулю
  3. $x-2 = 0 \Rightarrow x = 2$
  4. $x+3 = 0 \Rightarrow x = -3$

Ответ: $x \neq 2$ и $x \neq -3$

2. Сокращение алгебраических дробей

Правило: Чтобы сократить дробь, нужно разложить числитель и знаменатель на множители и сократить одинаковые множители.

Пример 3 (сокращение)

Сократите дробь: $\dfrac{6x^2}{3x}$

  1. Разложим: $\dfrac{6x^2}{3x} = \dfrac{3 \cdot 2 \cdot x \cdot x}{3 \cdot x}$
  2. Сокращаем 3 и $x$: $\dfrac{2x}{1} = 2x$
  3. ОДЗ: $x \neq 0$

Ответ: $2x$ (при $x \neq 0$)

Пример 4 (сокращение с ФСУ)

Сократите дробь: $\dfrac{x^2-4}{x+2}$

  1. Числитель раскладываем по формуле разности квадратов: $x^2-4 = (x-2)(x+2)$
  2. $\dfrac{(x-2)(x+2)}{x+2}$
  3. Сокращаем $(x+2)$: $x-2$
  4. ОДЗ: $x+2 \neq 0 \Rightarrow x \neq -2$

Ответ: $x-2$ (при $x \neq -2$)

Пример 5 (сокращение с квадратным трёхчленом)

Сократите дробь: $\dfrac{x^2+5x+6}{x+3}$

  1. Числитель раскладываем: $x^2+5x+6 = (x+2)(x+3)$
  2. $\dfrac{(x+2)(x+3)}{x+3}$
  3. Сокращаем $(x+3)$: $x+2$
  4. ОДЗ: $x+3 \neq 0 \Rightarrow x \neq -3$

Ответ: $x+2$ (при $x \neq -3$)

3. Сложение и вычитание алгебраических дробей

Правило: Приводим дроби к общему знаменателю и складываем (вычитаем) числители.

Пример 6 (сложение с одинаковыми знаменателями)

Вычислите: $\dfrac{2x}{5} + \dfrac{3x}{5}$

  1. Знаменатели одинаковые, складываем числители: $\dfrac{2x+3x}{5} = \dfrac{5x}{5} = x$
  2. ОДЗ: $x$ — любое число

Ответ: $x$

Пример 7 (сложение с разными знаменателями)

Вычислите: $\dfrac{x}{3} + \dfrac{x}{4}$

  1. Общий знаменатель: НОК(3, 4) = 12
  2. $\dfrac{x}{3} = \dfrac{4x}{12}$, $\dfrac{x}{4} = \dfrac{3x}{12}$
  3. $\dfrac{4x}{12} + \dfrac{3x}{12} = \dfrac{7x}{12}$

Ответ: $\dfrac{7x}{12}$

Пример 8 (сложение с вычитанием)

Вычислите: $\dfrac{2}{x} - \dfrac{3}{x+1}$

  1. Общий знаменатель: $x(x+1)$
  2. $\dfrac{2}{x} = \dfrac{2(x+1)}{x(x+1)}$, $\dfrac{3}{x+1} = \dfrac{3x}{x(x+1)}$
  3. $\dfrac{2(x+1)-3x}{x(x+1)} = \dfrac{2x+2-3x}{x(x+1)} = \dfrac{2-x}{x(x+1)}$
  4. ОДЗ: $x \neq 0$ и $x \neq -1$

Ответ: $\dfrac{2-x}{x(x+1)}$ (при $x \neq 0, -1$)

4. Умножение алгебраических дробей

Правило: Числитель умножаем на числитель, знаменатель на знаменатель.

$$\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{ac}{bd}$$
Пример 9 (умножение)

Вычислите: $\dfrac{2x}{3} \cdot \dfrac{5}{x}$

  1. $\dfrac{2x \cdot 5}{3 \cdot x} = \dfrac{10x}{3x} = \dfrac{10}{3}$
  2. ОДЗ: $x \neq 0$

Ответ: $\dfrac{10}{3}$ (при $x \neq 0$)

Пример 10 (умножение с сокращением)

Вычислите: $\dfrac{x^2-1}{x} \cdot \dfrac{x}{x+1}$

  1. $\dfrac{(x^2-1) \cdot x}{x \cdot (x+1)}$
  2. Сокращаем $x$: $\dfrac{x^2-1}{x+1}$
  3. Числитель раскладываем: $\dfrac{(x-1)(x+1)}{x+1} = x-1$
  4. ОДЗ: $x \neq 0$ и $x \neq -1$

Ответ: $x-1$ (при $x \neq 0, -1$)

5. Деление алгебраических дробей

Правило: Чтобы разделить дроби, нужно умножить первую дробь на перевёрнутую вторую.

$$\frac{a}{b} : \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c} = \frac{ad}{bc}$$
Пример 11 (деление)

Вычислите: $\dfrac{2x}{3} : \dfrac{x}{6}$

  1. Переворачиваем вторую дробь: $\dfrac{2x}{3} \cdot \dfrac{6}{x}$
  2. $\dfrac{2x \cdot 6}{3 \cdot x} = \dfrac{12x}{3x} = 4$
  3. ОДЗ: $x \neq 0$

Ответ: 4 (при $x \neq 0$)

Пример 12 (деление с ФСУ)

Вычислите: $\dfrac{x^2-4}{x} : \dfrac{x+2}{x^2}$

  1. Переворачиваем вторую дробь: $\dfrac{x^2-4}{x} \cdot \dfrac{x^2}{x+2}$
  2. Раскладываем $x^2-4 = (x-2)(x+2)$
  3. $\dfrac{(x-2)(x+2) \cdot x^2}{x \cdot (x+2)}$
  4. Сокращаем $(x+2)$ и $x$: $(x-2) \cdot x = x(x-2)$
  5. ОДЗ: $x \neq 0$, $x \neq -2$

Ответ: $x(x-2)$ (при $x \neq 0, -2$)

6. Комбинированные примеры

Пример 13 (смешанные действия)

Упростите: $\left(\dfrac{x}{x+1} + \dfrac{1}{x-1}\right) \cdot \dfrac{x^2-1}{2x}$

  1. Сначала складываем в скобках: общий знаменатель $(x+1)(x-1)$
  2. $\dfrac{x(x-1) + (x+1)}{(x+1)(x-1)} = \dfrac{x^2-x+x+1}{x^2-1} = \dfrac{x^2+1}{x^2-1}$
  3. Умножаем: $\dfrac{x^2+1}{x^2-1} \cdot \dfrac{x^2-1}{2x} = \dfrac{x^2+1}{2x}$
  4. ОДЗ: $x \neq \pm1$, $x \neq 0$

Ответ: $\dfrac{x^2+1}{2x}$ (при $x \neq 0, \pm1$)

7. Таблица действий с алгебраическими дробями

ДействиеПравилоПример
СокращениеРазложить на множители и сократить$\dfrac{x^2-4}{x+2} = x-2$
СложениеПривести к общему знаменателю$\dfrac{2}{x} + \dfrac{3}{x} = \dfrac{5}{x}$
УмножениеЧислитель × числитель, знаменатель × знаменатель$\dfrac{x}{2} \cdot \dfrac{4}{x} = 2$
ДелениеУмножить на перевёрнутую дробь$\dfrac{x}{2} : \dfrac{x}{4} = 2$
← 7. Многочлены. ФСУ. Разложение на множители