← Маршрут ОГЭ
Тема 7 из 72 · Алгебра

Многочлены. ФСУ. Разложение на множители

ФСУ, вынесение за скобку; план участка (№1-5). Задание №8

ТГ-каналПодписывайся · там же запись на вводный урок t.me/algo_math ↗
Содержание 8 разделов
  1. Многочлены. Формулы сокращённого умножения. Разложение на множители
  2. 1. Вынесение общего множителя за скобку
  3. 2. Формулы сокращённого умножения
  4. 3. Метод группировки
  5. 4. Комбинированные методы
  6. 5. Таблица формул сокращённого умножения
  7. 6. Разложение квадратного трёхчлена на множители
  8. 6. Типичные ошибки

Многочлены. Формулы сокращённого умножения. Разложение на множители

Многочлен — это сумма одночленов. Например: $3x^2 + 2x - 5$.

Разложение на множители — это представление многочлена в виде произведения более простых выражений.

Важно запомнить!

Разложение на множители — это обратное действие к умножению. Если мы умеем перемножать, мы должны уметь и раскладывать!

1. Вынесение общего множителя за скобку

Правило: Найти общий множитель у всех слагаемых и вынести его за скобку.

$$ab + ac = a(b+c)$$
Пример 1 (вынесение общего множителя)

Разложите на множители: $6x + 9$

  1. Находим общий множитель: у 6 и 9 общий множитель 3
  2. Выносим 3 за скобку: $3(2x + 3)$

Ответ: $3(2x + 3)$

Пример 2 (вынесение общего множителя)

Разложите на множители: $12x^2 - 8x$

  1. Находим общий множитель: у 12 и 8 общий множитель 4, у $x^2$ и $x$ общий множитель $x$
  2. Общий множитель: $4x$
  3. Выносим: $4x(3x - 2)$

Ответ: $4x(3x - 2)$

2. Формулы сокращённого умножения

Формулы сокращённого умножения (ФСУ) — это формулы, которые позволяют быстро перемножать или раскладывать на множители.

Квадрат суммы и квадрат разности:

$$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$$
$$(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$$
Пример 3 (квадрат суммы)

Раскройте скобки: $(x+3)^2$

  1. По формуле: $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$
  2. Где $a = x$, $b = 3$
  3. $(x+3)^2 = x^2 + 2 \cdot x \cdot 3 + 3^2 = x^2 + 6x + 9$

Ответ: $x^2 + 6x + 9$

Пример 4 (квадрат разности)

Раскройте скобки: $(2x-5)^2$

  1. По формуле: $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$
  2. Где $a = 2x$, $b = 5$
  3. $(2x-5)^2 = (2x)^2 - 2 \cdot 2x \cdot 5 + 5^2 = 4x^2 - 20x + 25$

Ответ: $4x^2 - 20x + 25$

Разность квадратов:

$$a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$$
Пример 5 (разность квадратов)

Разложите на множители: $x^2 - 9$

  1. $x^2 - 9 = x^2 - 3^2$
  2. По формуле: $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$
  3. $x^2 - 9 = (x-3)(x+3)$

Ответ: $(x-3)(x+3)$

Пример 6 (разность квадратов)

Разложите на множители: $4x^2 - 25$

  1. $4x^2 - 25 = (2x)^2 - 5^2$
  2. По формуле: $(2x-5)(2x+5)$

Ответ: $(2x-5)(2x+5)$

Сумма и разность кубов:

$$a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)$$
$$a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2)$$
Пример 7 (разность кубов)

Разложите на множители: $x^3 - 8$

  1. $x^3 - 8 = x^3 - 2^3$
  2. По формуле: $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2)$
  3. $x^3 - 8 = (x-2)(x^2 + 2x + 4)$

Ответ: $(x-2)(x^2 + 2x + 4)$

Пример 8 (сумма кубов)

Разложите на множители: $27x^3 + 1$

  1. $27x^3 + 1 = (3x)^3 + 1^3$
  2. По формуле: $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)$
  3. $(3x+1)((3x)^2 - 3x \cdot 1 + 1^2)$
  4. $(3x+1)(9x^2 - 3x + 1)$

Ответ: $(3x+1)(9x^2 - 3x + 1)$

3. Метод группировки

Правило: Разбить многочлен на группы так, чтобы в каждой группе можно было вынести общий множитель, а затем вынести общий множитель между группами.

Пример 9 (группировка)

Разложите на множители: $xy + xz + y + z$

  1. Группируем: $(xy + xz) + (y + z)$
  2. В первой группе выносим $x$: $x(y + z)$
  3. Во второй группе выносим 1: $1(y + z)$
  4. Теперь у нас общий множитель $(y + z)$
  5. $(y+z)(x+1)$

Ответ: $(y+z)(x+1)$

Пример 10 (группировка)

Разложите на множители: $x^2 + 3x + 2$

  1. Нужно разбить на группы: $x^2 + 2x + x + 2$
  2. Группируем: $(x^2 + 2x) + (x + 2)$
  3. В первой группе выносим $x$: $x(x + 2)$
  4. Во второй группе выносим 1: $1(x + 2)$
  5. $(x+2)(x+1)$

Ответ: $(x+2)(x+1)$

4. Комбинированные методы

В сложных примерах приходится использовать несколько методов последовательно.

Пример 11 (комбинация методов)

Разложите на множители: $2x^3 - 8x$

  1. Сначала выносим общий множитель: $2x(x^2 - 4)$
  2. Теперь в скобках разность квадратов: $x^2 - 4 = (x-2)(x+2)$
  3. Получаем: $2x(x-2)(x+2)$

Ответ: $2x(x-2)(x+2)$

Пример 12 (комбинация методов)

Разложите на множители: $x^4 - 16$

  1. Это разность квадратов: $(x^2)^2 - 4^2$
  2. $(x^2 - 4)(x^2 + 4)$
  3. Первая скобка снова разность квадратов: $(x-2)(x+2)(x^2 + 4)$

Ответ: $(x-2)(x+2)(x^2 + 4)$

5. Таблица формул сокращённого умножения

НазваниеФормула
Квадрат суммы$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$
Квадрат разности$(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$
Разность квадратов$a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$
Сумма кубов$a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)$
Разность кубов$a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2)$
Важно!

Формулы сокращённого умножения нужно знать наизусть! Они используются не только в алгебре, но и в геометрии, и в задачах с параметрами.

6. Разложение квадратного трёхчлена на множители

Квадратный трёхчлен — это выражение вида $ax^2 + bx + c$, где $a \neq 0$.

Способ 1: Через дискриминант

  1. Найти корни уравнения $ax^2 + bx + c = 0$ через дискриминант
  2. Разложить по формуле: $ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2)$
$$ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2)$$

Способ 2: По теореме Виета (если $a = 1$)

  1. Найти числа $x_1$ и $x_2$ такие, что $x_1 + x_2 = -b$, $x_1 \cdot x_2 = c$
  2. Разложить по формуле: $x^2 + bx + c = (x - x_1)(x - x_2)$
Пример 13 (разложение через дискриминант)

Разложите на множители: $2x^2 - 5x + 2$

  1. Находим корни: $2x^2 - 5x + 2 = 0$
  2. $D = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 - 16 = 9$
  3. $x_1 = \dfrac{5+3}{4} = 2$, $x_2 = \dfrac{5-3}{4} = \dfrac{1}{2}$
  4. Подставляем в формулу: $2x^2 - 5x + 2 = 2(x - 2)(x - \dfrac{1}{2})$
  5. Упрощаем: $2(x - 2)(x - \dfrac{1}{2}) = (x - 2)(2x - 1)$

Ответ: $(x - 2)(2x - 1)$

Пример 14 (разложение по теореме Виета)

Разложите на множители: $x^2 - 5x + 6$

  1. Ищем числа с суммой 5 и произведением 6: это 2 и 3
  2. $x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3)$

Ответ: $(x - 2)(x - 3)$

Пример 15 (разложение с отрицательным дискриминантом)

Разложите на множители: $x^2 + 2x + 5$

  1. $D = 4 - 20 = -16 < 0$
  2. Корней нет, значит на множители разложить нельзя

Ответ: нельзя разложить на множители

6. Типичные ошибки

Ошибка 1

$(a+b)^2 \neq a^2 + b^2$! Правильно: $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$. Не забывайте про средний член $2ab$.

Ошибка 2

$x^2 - 4 \neq (x-2)^2$! Правильно: $x^2 - 4 = (x-2)(x+2)$. Это разность квадратов, а не квадрат разности!

← 6. Числовые неравенства. Координатная прям…