← Маршрут ОГЭ
Тема 6 из 72 · Алгебра

Числовые неравенства. Координатная прямая

Сравнение чисел, отметка на прямой. Задание №7

ТГ-каналПодписывайся · там же запись на вводный урок t.me/algo_math ↗

Числовые неравенства. Координатная прямая

Числовое неравенство — это запись, показывающая, какое из двух чисел больше (или меньше).

Важно запомнить!

На координатной прямой числа расположены слева направо в порядке возрастания. Чем правее число, тем оно больше.

1. Сравнение положительных чисел

Для положительных чисел работает правило: чем дальше число от нуля, тем оно больше.

$$0 < 1 < 2 < 3 < \ldots < 10 < \ldots$$
Пример 1 (сравнение целых чисел)

Сравните: 7 и 12

  1. На координатной прямой 12 находится правее 7
  2. Значит, 7 < 12

Ответ: 7 < 12

2. Сравнение отрицательных чисел

Важное правило: Чем дальше отрицательное число от нуля, тем оно МЕНЬШЕ.

$$\ldots < -3 < -2 < -1 < 0$$
Пример 2 (сравнение отрицательных чисел)

Сравните: -5 и -2

  1. На координатной прямой -2 находится правее -5
  2. Значит, -5 < -2

Ответ: -5 < -2

Ошибка!

Многие думают, что -5 > -2, потому что 5 > 2. Это НЕВЕРНО! -5 находится дальше от нуля, значит оно меньше.

3. Сравнение дробей

Правило: Чтобы сравнить дроби, нужно привести их к общему знаменателю.

Пример 3 (сравнение дробей)

Сравните: $\dfrac{3}{4}$ и $\dfrac{5}{6}$

  1. Находим общий знаменатель: 12 — оно делится и на 4, и на 6
  2. $\dfrac{3}{4} = \dfrac{3 \cdot 3}{4 \cdot 3} = \dfrac{9}{12}$
  3. $\dfrac{5}{6} = \dfrac{5 \cdot 2}{6 \cdot 2} = \dfrac{10}{12}$
  4. Сравниваем: 9 < 10, значит $\dfrac{3}{4} < \dfrac{5}{6}$

Ответ: $\dfrac{3}{4} < \dfrac{5}{6}$

4. Сравнение чисел с корнями

Правило: Если оба числа неотрицательные, можно возвести их в квадрат.

$$\sqrt{a} < \sqrt{b} \iff a < b \quad (a,b \ge 0)$$
Пример 4 (сравнение корней)

Сравните: $\sqrt{5}$ и $\sqrt{7}$

  1. Оба числа положительные, возводим в квадрат: $(\sqrt{5})^2 = 5$ и $(\sqrt{7})^2 = 7$
  2. 5 < 7, значит $\sqrt{5} < \sqrt{7}$

Ответ: $\sqrt{5} < \sqrt{7}$

Пример 5 (сравнение корня и числа)

Сравните: $\sqrt{5}$ и $2{,}3$

  1. Возводим оба числа в квадрат: $(\sqrt{5})^2 = 5$ и $(2{,}3)^2 = 5{,}29$
  2. 5 < 5,29, значит $\sqrt{5} < 2{,}3$

Ответ: $\sqrt{5} < 2{,}3$

5. Сравнение чисел с $\pi$

Важно запомнить: $\pi \approx 3{,}14$

Пример 6 (сравнение с $\pi$)

Сравните: $\sqrt{10}$ и $\pi$

  1. $\sqrt{10} \approx 3{,}16$
  2. $\pi \approx 3{,}14$
  3. 3,16 > 3,14, значит $\sqrt{10} > \pi$

Ответ: $\sqrt{10} > \pi$

6. Расположение чисел на координатной прямой

Алгоритм:

  1. Найти цену деления (шаг) между соседними отмеченными числами
  2. Определить, между какими числами находится искомая точка
  3. Записать двойное неравенство
Пример 7 (определение числа по прямой)

На координатной прямой отмечены числа 2 и 3. Между ними отмечена точка x. Какое из чисел может быть x: 2,3; 2,7; 3,2?

  1. Точка x находится между 2 и 3
  2. Значит, 2 < x < 3
  3. Подходят: 2,3 и 2,7 (оба между 2 и 3)
  4. 3,2 не подходит (больше 3)

Ответ: 2,3 или 2,7

7. Двойные неравенства

Двойное неравенство показывает, что число находится между двумя другими числами.

$$a < x < b \quad \text{— } x \text{ находится строго между } a \text{ и } b$$
Пример 8 (двойное неравенство)

Запишите в виде двойного неравенства: число x находится между 3 и 7.

  1. 3 < x < 7

Ответ: $3 < x < 7$

Пример 9 (оценка корня)

Между какими соседними целыми числами находится $\sqrt{20}$?

  1. Находим ближайшие квадраты: $4^2 = 16 < 20 < 25 = 5^2$
  2. Значит, $4 < \sqrt{20} < 5$

Ответ: $4 < \sqrt{20} < 5$

8. Приближённые значения (нужно запомнить!)

ЧислоПриближённое значение
$\sqrt{2}$≈ 1,41
$\sqrt{3}$≈ 1,73
$\sqrt{5}$≈ 2,24
$\sqrt{7}$≈ 2,65
$\pi$≈ 3,14
$\sqrt{10}$≈ 3,16

9. Практические задания из ОГЭ

Пример 10 (типичное задание ОГЭ)

На координатной прямой отмечены числа a и b. Известно, что a < 0 < b. Сравните: a и b.

  1. a — отрицательное число, находится слева от нуля
  2. b — положительное число, находится справа от нуля
  3. Любое отрицательное число меньше любого положительного

Ответ: a < b

Пример 11 (оценка числа)

Какое из чисел больше: $\sqrt{15}$ или $4$?

  1. $4^2 = 16$
  2. $(\sqrt{15})^2 = 15$
  3. 15 < 16, значит $\sqrt{15} < 4$

Ответ: $\sqrt{15} < 4$

← 5. Квадратные корни. Иррациональные выраже…