← Маршрут ОГЭ
Тема 5 из 72 · Алгебра

Квадратные корни. Иррациональные выражения

Свойства корней; план местности, дороги (№1-5). Задание №8

ТГ-каналПодписывайся · там же запись на вводный урок t.me/algo_math ↗

Квадратные корни. Иррациональные выражения

Квадратный корень из числа $a$ — это такое число $x$, которое при возведении в квадрат даёт $a$.

$$\sqrt{a} = x, \quad \text{если } x^2 = a$$
Важно запомнить!

Корень определён только для НЕОТРИЦАТЕЛЬНЫХ чисел: $a \ge 0$.

1. Основное свойство квадратного корня

Главное правило: Квадрат корня равен подкоренному выражению.

$$(\sqrt{a})^2 = a, \quad a \ge 0$$
Пример 1 (основное свойство)

Вычислите: $(\sqrt{7})^2$

  1. По основному свойству: $(\sqrt{7})^2 = 7$

Ответ: 7

2. Квадратный корень из квадрата

Важное правило: Корень из квадрата числа равен МОДУЛЮ этого числа.

$$\sqrt{a^2} = |a|$$
Пример 2 (корень из квадрата)

Вычислите: $\sqrt{(-5)^2}$

  1. $\sqrt{(-5)^2} = |-5| = 5$

Ответ: 5

Пример 3 (корень из квадрата)

Вычислите: $\sqrt{16}$

  1. $\sqrt{16} = \sqrt{4^2} = |4| = 4$

Ответ: 4

Ошибка!

$\sqrt{(-3)^2} \neq -3$! Правильно: $\sqrt{(-3)^2} = |-3| = 3$.

3. Свойства корней (умножение и деление)

Умножение корней:

$$\sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}, \quad a \ge 0, b \ge 0$$
Пример 4 (умножение корней)

Вычислите: $\sqrt{25 \cdot 4}$

  1. По свойству: $\sqrt{25 \cdot 4} = \sqrt{25} \cdot \sqrt{4}$
  2. $\sqrt{25} = 5$, $\sqrt{4} = 2$
  3. $5 \cdot 2 = 10$

Ответ: 10

Деление корней:

$$\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}, \quad a \ge 0, b > 0$$
Пример 5 (деление корней)

Вычислите: $\sqrt{\frac{100}{25}}$

  1. По свойству: $\sqrt{\frac{100}{25}} = \frac{\sqrt{100}}{\sqrt{25}} = \frac{10}{5} = 2$

Ответ: 2

4. Вынесение множителя из-под корня

Правило: Чтобы вынести множитель из-под корня, нужно разложить подкоренное выражение на множители, один из которых является полным квадратом.

Пример 6 (вынесение множителя)

Упростите: $\sqrt{50}$

  1. Разложим 50 на множители: $50 = 25 \cdot 2$
  2. 25 — это полный квадрат ($5^2$)
  3. $\sqrt{50} = \sqrt{25 \cdot 2} = \sqrt{25} \cdot \sqrt{2} = 5\sqrt{2}$

Ответ: $5\sqrt{2}$

Пример 7 (вынесение множителя)

Упростите: $\sqrt{72}$

  1. Разложим 72 на множители: $72 = 36 \cdot 2$
  2. 36 — это полный квадрат ($6^2$)
  3. $\sqrt{72} = \sqrt{36 \cdot 2} = \sqrt{36} \cdot \sqrt{2} = 6\sqrt{2}$

Ответ: $6\sqrt{2}$

5. Сложение и вычитание корней

Правило: Складывать и вычитать можно только подобные корни — те, у которых одинаковые подкоренные выражения.

Пример 8 (сложение подобных корней)

Упростите: $\sqrt{12} + \sqrt{27}$

  1. Выносим множители из-под корня: $\sqrt{12} = \sqrt{4 \cdot 3} = 2\sqrt{3}$ $\sqrt{27} = \sqrt{9 \cdot 3} = 3\sqrt{3}$
  2. Теперь у нас подобные корни ($\sqrt{3}$)
  3. $2\sqrt{3} + 3\sqrt{3} = (2+3)\sqrt{3} = 5\sqrt{3}$

Ответ: $5\sqrt{3}$

Пример 9 (вычитание подобных корней)

Упростите: $\sqrt{45} - \sqrt{20}$

  1. Выносим множители: $\sqrt{45} = \sqrt{9 \cdot 5} = 3\sqrt{5}$ $\sqrt{20} = \sqrt{4 \cdot 5} = 2\sqrt{5}$
  2. $3\sqrt{5} - 2\sqrt{5} = (3-2)\sqrt{5} = \sqrt{5}$

Ответ: $\sqrt{5}$

Ошибка!

$\sqrt{5} + \sqrt{7}$ нельзя упростить — это разные корни, их нельзя сложить!

6. Приведение подобных корней

Пример 10 (приведение подобных)

Упростите: $\sqrt{50} - \sqrt{8} + \sqrt{18}$

  1. Выносим множители: $\sqrt{50} = \sqrt{25 \cdot 2} = 5\sqrt{2}$ $\sqrt{8} = \sqrt{4 \cdot 2} = 2\sqrt{2}$ $\sqrt{18} = \sqrt{9 \cdot 2} = 3\sqrt{2}$
  2. Теперь все корни подобные ($\sqrt{2}$)
  3. $5\sqrt{2} - 2\sqrt{2} + 3\sqrt{2} = (5-2+3)\sqrt{2} = 6\sqrt{2}$

Ответ: $6\sqrt{2}$

7. Умножение корней при упрощении

Пример 11 (умножение корней)

Упростите: $\sqrt{5} \cdot \sqrt{20}$

  1. Перемножаем подкоренные выражения: $\sqrt{5 \cdot 20} = \sqrt{100}$
  2. $\sqrt{100} = 10$

Ответ: 10

Пример 12 (умножение корней)

Упростите: $\sqrt{8} \cdot \sqrt{2}$

  1. Перемножаем: $\sqrt{8 \cdot 2} = \sqrt{16} = 4$

Ответ: 4

8. Таблица часто встречающихся корней

ЧислоКореньУпрощение
4$\sqrt{4}$2
8$\sqrt{8}$$2\sqrt{2}$
9$\sqrt{9}$3
12$\sqrt{12}$$2\sqrt{3}$
16$\sqrt{16}$4
18$\sqrt{18}$$3\sqrt{2}$
20$\sqrt{20}$$2\sqrt{5}$
25$\sqrt{25}$5
27$\sqrt{27}$$3\sqrt{3}$
32$\sqrt{32}$$4\sqrt{2}$
36$\sqrt{36}$6
45$\sqrt{45}$$3\sqrt{5}$
48$\sqrt{48}$$4\sqrt{3}$
49$\sqrt{49}$7
50$\sqrt{50}$$5\sqrt{2}$
64$\sqrt{64}$8
72$\sqrt{72}$$6\sqrt{2}$
81$\sqrt{81}$9
98$\sqrt{98}$$7\sqrt{2}$
100$\sqrt{100}$10

9. Оценка корня: между какими целыми числами

В задании №7 часто просят понять, между какими целыми числами лежит корень, или сравнить корень с десятичной дробью. Извлекать его не нужно — достаточно зажать подкоренное число между двумя соседними точными квадратами.

$$\text{если } n^2 < x < (n+1)^2, \text{ то } n < \sqrt{x} < n+1$$
Пример

Между какими целыми числами заключено число $\sqrt{74}$?

  1. Ближайшие квадраты: $8^2 = 64$ и $9^2 = 81$.
  2. $64 < 74 < 81$, значит $8 < \sqrt{74} < 9$.

Ответ: между 8 и 9

Пример

Что больше: $\sqrt{11}$ или $3{,}3$?

  1. Сравнивать корень с дробью неудобно — возводим обе части в квадрат.
  2. $(3{,}3)^2 = 10{,}89$, а под корнем 11.
  3. $11 > 10{,}89$, значит $\sqrt{11} > 3{,}3$.

Ответ: больше $\sqrt{11}$

Приём

Чтобы сравнить корень с числом, возводите в квадрат обе части — сравнение целых чисел всегда проще. Квадраты до 15 стоит знать наизусть: 121, 144, 169, 196, 225.

← 4. Степени с целым показателем