Степени с целым показателем
Свойства степеней, стандартный вид числа. Задание №8
Степени с целым показателем
Степени на ОГЭ — это в первую очередь задание №8 (вычислить выражение), иногда встречаются в задании №7 (сравнить с корнем) и в задании №12 (подставить в формулу).
1. Что такое степень. Где теряется минус
Запись $a^n$ означает, что основание $a$ умножают само на себя $n$ раз: $a$ — основание, $n$ — показатель. Отрицательное число в чётной степени положительно, в нечётной — отрицательно.
$(-2)^4$ и $-2^4$ — разные вещи. В первом случае в степень возводится вся скобка вместе со знаком: $(-2)^4 = 16$. Во втором минус остаётся снаружи, возводится только двойка: $-2^4 = -16$. Так же $(-3)^2 = 9$, а $-3^2 = -9$.
Вычислите $(-3)^3$ и $(-1)^7$.
- Показатель 3 нечётный, знак сохраняется: $(-3)^3 = -27$.
- Показатель 7 нечётный: $(-1)^7 = -1$.
Ответ: $-27$ и $-1$
$2^5 = 32$, $2^8 = 256$, $2^{10} = 1024$, $3^4 = 81$, $3^5 = 243$, $10^4 = 10\,000$.
2. Умножение и деление: показатели складываются
При одинаковом основании умножение превращается в сложение показателей, а деление — в вычитание: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$ и $a^m : a^n = a^{m-n}$. Основания при этом не меняются и не перемножаются.
Вычислите $3^5 \cdot 3^2 : 3^4$.
- Сначала сворачиваем всё в одну степень, и только потом считаем число: $3^{5+2-4} = 3^3$.
- $3^3 = 27$.
Ответ: 27
3. Степень степени, произведения и дроби
При возведении степени в степень показатели перемножаются: $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$. Степень распределяется по множителям и по дроби: $(ab)^n = a^n b^n$, $\left(\dfrac{a}{b}\right)^n = \dfrac{a^n}{b^n}$.
А вот по сумме степень не распределяется: $(a+b)^2$ не равно $a^2+b^2$ — между слагаемыми появляется удвоенное произведение. Это правило работает только для умножения и деления, никогда — для сложения и вычитания.
Вычислите $(2^3)^2$ и $(2 \cdot 3)^3$.
- $(2^3)^2 = 2^{3 \cdot 2} = 2^6 = 64$.
- $(2 \cdot 3)^3 = 2^3 \cdot 3^3 = 8 \cdot 27 = 216$.
Ответ: 64 и 216
4. Нулевой и отрицательный показатель
Любое число (кроме нуля) в нулевой степени равно 1: $a^0 = 1$. Отрицательный показатель означает переворот дроби: $a^{-n} = \dfrac{1}{a^n}$, а значит $\left(\dfrac{a}{b}\right)^{-n} = \left(\dfrac{b}{a}\right)^n$. Минус в показателе не делает число отрицательным — он только переворачивает.
Вычислите $2^{-3}$ и $\left(2^{-3}\right)^{-1}$.
- $2^{-3} = \dfrac{1}{2^3} = \dfrac{1}{8} = 0{,}125$.
- $\left(2^{-3}\right)^{-1} = 2^3 = 8$ — два минуса в показателях дали плюс.
Ответ: 0,125 и 8
$0^0$ не определено — это выражение не имеет смысла.
5. Приведение к одному основанию
Если основания разные, свойства степеней напрямую не работают. Выход один: привести всё к общему основанию. Для этого достаточно помнить разложения небольших чисел.
После замены основания становятся одинаковыми, показатели складываются и вычитаются по обычным правилам, и огромные степени сокращаются.
Вычислите $8^5 : 2^{12}$.
- Приводим к основанию 2: $8^5 = (2^3)^5 = 2^{15}$.
- Делим: $2^{15} : 2^{12} = 2^{3} = 8$.
Ответ: 8
Вычислите $9^3 \cdot 3^4 : 3^8$.
- $9^3 = (3^2)^3 = 3^6$.
- Складываем и вычитаем показатели: $3^{6+4-8} = 3^2 = 9$.
Ответ: 9
Вычислите $25^3 : 5^4$.
- $25^3 = (5^2)^3 = 5^6$.
- $5^6 : 5^4 = 5^2 = 25$.
Ответ: 25
6. Стандартный вид числа
Стандартный вид числа — это запись $a \cdot 10^n$, где $1 \le a < 10$. Для больших чисел $n$ положительное (на сколько разрядов перенесли запятую влево), для маленьких — отрицательное (на сколько перенесли вправо).
Запишите 47000 и 0,00035 в стандартном виде.
- $47000$: переносим запятую влево на 4 разряда — $4{,}7 \cdot 10^4$.
- $0{,}00035$: переносим запятую вправо на 4 разряда — $3{,}5 \cdot 10^{-4}$.
Ответ: $4{,}7 \cdot 10^4$ и $3{,}5 \cdot 10^{-4}$
Подпишись — и вся теория откроется
72 темы ЕГЭ и 72 темы ОГЭ с разборами примеров. Доступ откроется сразу и сохранится в этом браузере.