← Маршрут ОГЭ
Тема 3 из 72 · Алгебра

Проценты

Процент от числа, скидки и наценки, вклады, последовательные изменения. Задания №6, №12

ТГ-каналПодписывайся · там же запись на вводный урок t.me/algo_math ↗
Содержание 9 разделов
  1. Проценты
  2. 1. Что такое процент
  3. 2. Процент от числа — умножаем
  4. 3. Число по его проценту — делим
  5. 4. Сколько процентов одно число от другого
  6. 5. Изменение на проценты — множитель
  7. 6. Два изменения подряд
  8. 7. Концентрация, сплавы и смеси
  9. 8. Как это спрашивают на ОГЭ

Проценты

Проценты встречаются в ОГЭ трижды: в практико-ориентированном блоке (задания №1–5) — доля площади, скидка, тариф; в задании №6 как чистое вычисление; в задании №12 — расчёт по формуле из описанной ситуации; и в задании №21 — текстовая задача на смеси, сплавы или изменение цены с полным решением.

1. Что такое процент

Процент — это одна сотая часть числа: $1\% = \dfrac{1}{100} = 0{,}01$. Перевести проценты в десятичную дробь — значит разделить на 100 (сдвинуть запятую на два знака влево), а обратно — умножить на 100.

Пример

Запишите 45% в виде десятичной дроби, а 0,08 — в процентах.

  1. $45\% = 45 : 100 = 0{,}45$.
  2. $0{,}08 = 0{,}08 \cdot 100\% = 8\%$.

Ответ: 0,45 и 8%

2. Процент от числа — умножаем

Чтобы найти $p\%$ от числа $a$, нужно перевести проценты в дробь и умножить: $a \cdot \dfrac{p}{100}$. Слово «от» в условии почти всегда означает умножение.

Пример

Найдите 35% от числа 240.

  1. $35\% = 0{,}35$.
  2. $240 \cdot 0{,}35 = 84$.

Ответ: 84

3. Число по его проценту — делим

Если известно, что $p\%$ числа равны $b$, само число находят делением: $b : \dfrac{p}{100}$. Признак такой задачи — искомое число в условии неизвестно, а дана только его часть.

Пример

Число 45 составляет 15% некоторого числа. Найдите это число.

  1. $15\% = 0{,}15$.
  2. $45 : 0{,}15 = 300$.
  3. Проверка: $300 \cdot 0{,}15 = 45$ — сходится.

Ответ: 300

4. Сколько процентов одно число от другого

Чтобы узнать, сколько процентов число $b$ составляет от числа $a$, делят $b$ на $a$ и умножают на 100%: $\dfrac{b}{a} \cdot 100\%$. Делят всегда на то, с чем сравнивают, — на число после слова «от».

Пример

Сколько процентов число 18 составляет от числа 72?

  1. $\dfrac{18}{72} = 0{,}25$.
  2. $0{,}25 = 25\%$.

Ответ: 25%

5. Изменение на проценты — множитель

Это главный приём всей темы. Увеличить на $p\%$ — умножить на $\left(1+\dfrac{p}{100}\right)$, уменьшить на $p\%$ — умножить на $\left(1-\dfrac{p}{100}\right)$. Например, +15% — это умножение на 1,15, а −20% — на 0,8.

Пример

Цену 4000 рублей повысили на 15%. Найдите новую цену.

  1. $4000 \cdot 1{,}15 = 4600$ — одно действие вместо двух.

Ответ: 4600 рублей

Обратная задача

Если цена изменилась с $a$ на $b$, изменение в процентах равно $\dfrac{b-a}{a}\cdot 100\%$ — делят на исходное значение, а не на новое.

6. Два изменения подряд

Когда изменений несколько, множители перемножаются. Складывать проценты нельзя: $+10\%$, а потом $-10\%$ дают $1{,}1 \cdot 0{,}9 = 0{,}99$, то есть цена стала меньше исходной на 1%, а не вернулась к ней. Это самая частая ошибка в теме.

Пример

Цену 2000 рублей сначала повысили на 10%, затем снизили на 10%. Сколько стоит товар теперь?

  1. $2000 \cdot 1{,}1 \cdot 0{,}9 = 2000 \cdot 0{,}99 = 1980$.

Ответ: 1980 рублей

7. Концентрация, сплавы и смеси

Ключ ко всем таким задачам: считать не проценты, а массу самого вещества. Масса вещества = масса раствора · концентрация. При смешивании складываются и массы растворов, и массы вещества, а концентрация получается делением одной суммы на другую.

$$\text{масса вещества} = \text{масса раствора} \cdot \dfrac{p}{100}$$
Пример

Смешали 300 г раствора с концентрацией соли 10% и 200 г раствора с концентрацией 20%. Какова концентрация полученного раствора?

  1. Соли в первом растворе: $300 \cdot 0{,}1 = 30$ г.
  2. Соли во втором: $200 \cdot 0{,}2 = 40$ г.
  3. Всего соли $30 + 40 = 70$ г, всего раствора $300 + 200 = 500$ г.
  4. Концентрация: $\dfrac{70}{500} \cdot 100\% = 14\%$.

Ответ: 14%

Важно

Нельзя сказать «10% и 20% — значит, стало 15%». Среднее арифметическое даёт верный ответ только при равных массах. Здесь массы разные, поэтому 14%, а не 15%.

Пример

К 400 г раствора с концентрацией кислоты 15% добавили 100 г воды. Какой стала концентрация?

  1. Кислоты было $400 \cdot 0{,}15 = 60$ г, и вода её количество не меняет.
  2. Масса раствора стала $400 + 100 = 500$ г.
  3. $\dfrac{60}{500} \cdot 100\% = 12\%$.

Ответ: 12%

8. Как это спрашивают на ОГЭ

Проценты встречаются в четырёх местах экзамена, и каждый раз — в своей обёртке.

ГдеКак выглядитЧто делать
Задание №6 Чистое вычисление: «Найдите 15% от 240» Перевести проценты в дробь и умножить
Задание №12 Расчёт по формуле или по условию: скидка, вклад, доля Определить, от чего берётся процент, и подставить
Задания №1–5 Доля площади на плане, доля стоимости в смете Сначала найти обе величины, потом их отношение
Задание №21 Текстовая задача: смеси, сплавы, изменение цены Составить уравнение через массу вещества или множитель изменения
Типичное задание №6

Ежемесячная плата за телефон составляет 280 рублей. Со следующего месяца она вырастет на 5%. Сколько рублей придётся платить?

  1. Рост на 5% — умножение на $1{,}05$.
  2. $280 \cdot 1{,}05 = 294$.

Ответ: 294

Типичное задание №12

Товар на распродаже уценили на 20%, при этом он стал стоить 680 рублей. Сколько рублей стоил товар до распродажи?

  1. После уценки цена составляет $100\% - 20\% = 80\%$ прежней, то есть множитель $0{,}8$.
  2. Ищем исходную цену делением: $680 : 0{,}8 = 850$.

Ответ: 850

Проверьте себя вопросом

«Процент от чего?» — почти все ошибки в этой теме от того, что процент берут не от той величины. В задачах на два изменения второй процент всегда считается от новой цены, а не от исходной.

← 2. Десятичные дроби