← Маршрут ОГЭ

Тема 11 из 72 · Алгебра

Линейные неравенства. Системы неравенств

Решение неравенств; задачи про бумагу (№1-5). Задание №13

ТГ-каналПодписывайся · там же запись на вводный урок t.me/algo_math ↗

Линейные неравенства. Системы неравенств

Линейное неравенство — это неравенство вида $ax + b > 0$ (или $<, \ge, \le$), где $a \neq 0$.

Важно запомнить!

Решение неравенства — это промежуток (или объединение промежутков), а не одно число!

1. Основное правило решения неравенств

Главное правило: При умножении или делении обеих частей неравенства на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный.

$$\text{Если } a < b \text{ и } c < 0, \text{ то } ac > bc$$

Пример 1 (умножение на отрицательное)

$-2x < 6$

Делим обе части на $-2$ (отрицательное число!)
Знак неравенства меняется: $x > -3$

Ответ: $x > -3$

Ошибка!

$-2x < 6 \Rightarrow x < -3$ — это НЕВЕРНО! При делении на отрицательное число знак меняется: $x > -3$.

2. Решение линейных неравенств

Алгоритм:

Раскрыть скобки (если есть)
Перенести все слагаемые с $x$ в левую часть, числа — в правую
Привести подобные слагаемые
Разделить обе части на коэффициент при $x$ (если коэффициент отрицательный — поменять знак неравенства)
Записать ответ в виде промежутка

Пример 2 (простое неравенство)

Решите неравенство: $2x - 5 > 3$

$2x > 3 + 5$
$2x > 8$
$x > 4$ (делим на положительное число, знак не меняется)

Ответ: $x \in (4; +\infty)$

Пример 3 (со скобками)

Решите неравенство: $3(x-2) \le 2x + 1$

$3x - 6 \le 2x + 1$
$3x - 2x \le 1 + 6$
$x \le 7$

Ответ: $x \in (-\infty; 7]$

Пример 4 (с отрицательным коэффициентом)

Решите неравенство: $5 - 2x \ge 1$

$-2x \ge 1 - 5$
$-2x \ge -4$
Делим на $-2$ (отрицательное число!): $x \le 2$

Ответ: $x \in (-\infty; 2]$

3. Системы линейных неравенств

Система неравенств — это несколько неравенств, которые должны выполняться одновременно.

Алгоритм:

Решить каждое неравенство системы отдельно
Найти пересечение полученных промежутков (общую часть)
Если общей части нет — система не имеет решений

Пример 5 (система неравенств)

Решите систему: $\begin{cases} x - 2 > 0 \\ 5 - x > 0 \end{cases}$

Из первого: $x > 2$
Из второго: $x < 5$
Пересечение: $2 < x < 5$

Ответ: $x \in (2; 5)$

Пример 6 (система со строгим и нестрогим неравенством)

Решите систему: $\begin{cases} 2x - 4 \ge 0 \\ 3 - x > 1 \end{cases}$

Из первого: $2x \ge 4 \Rightarrow x \ge 2$
Из второго: $-x > -2 \Rightarrow x < 2$ (при делении на $-1$ знак меняется)
Пересечение: $x \ge 2$ и $x < 2$
Общей части нет! (точка 2 не входит, так как $x < 2$)

Ответ: решений нет

4. Изображение на числовой прямой

Правила оформления:

Строгое неравенство ($>$ или $<$) — точка пустая (выколотая)
Нестрогое неравенство ($\ge$ или $\le$) — точка закрашенная
Штриховка показывает все числа, которые являются решением

Пример 7 (изображение на прямой)

Изобразите на числовой прямой решение неравенства: $-3 \le x < 5$

Точка $-3$ закрашенная (так как $x \ge -3$)
Точка $5$ пустая (так как $x < 5$)
Штриховка между $-3$ и $5$

Ответ: промежуток $[-3; 5)$

5. Виды промежутков

Обозначение	Неравенство	Числовая прямая
$(a; b)$	$a < x < b$	обе точки пустые
$[a; b]$	$a \le x \le b$	обе точки закрашенные
$[a; b)$	$a \le x < b$	a закрашена, b пустая
$(a; b]$	$a < x \le b$	a пустая, b закрашена
$(-\infty; b)$	$x < b$	b пустая
$(-\infty; b]$	$x \le b$	b закрашена
$(a; +\infty)$	$x > a$	a пустая
$[a; +\infty)$	$x \ge a$	a закрашена

6. Сложные случаи

Пример 8 (система с тремя неравенствами)

Решите систему: $\begin{cases} x + 2 > 0 \\ x - 3 < 0 \\ 2x - 5 \ge 1 \end{cases}$

Из первого: $x > -2$
Из второго: $x < 3$
Из третьего: $2x \ge 6 \Rightarrow x \ge 3$
Пересечение: $x > -2$, $x < 3$, $x \ge 3$
$x < 3$ и $x \ge 3$ не пересекаются (точка 3 не входит, так как $x < 3$)

Ответ: решений нет

Пример 9 (система с одним решением)

Решите систему: $\begin{cases} x \ge -2 \\ x \le 3 \\ x > 1 \end{cases}$

Из первого: $x \ge -2$
Из второго: $x \le 3$
Из третьего: $x > 1$
Пересечение: $1 < x \le 3$

Ответ: $x \in (1; 3]$

← 10. Рациональные уравнения. Метод замены 12. Квадратные неравенства. Метод интервалов →