← Маршрут ОГЭ
Тема 12 из 72 · Алгебра

Квадратные неравенства. Метод интервалов

Парабола и знак. Задание №13

ТГ-каналПодписывайся · там же запись на вводный урок t.me/algo_math ↗
Содержание 10 разделов
  1. Квадратные неравенства. Метод интервалов
  2. 1. Метод интервалов (универсальный способ)
  3. 2. Определение знаков по параболе
  4. 8. Особые случаи: всё множество чисел или одно число
  5. 9. Сводная таблица особых случаев
  6. 3. Примеры решения
  7. 4. Особые случаи
  8. 5. Сводная таблица для $D < 0$
  9. 6. Метод пробной точки
  10. 7. Рациональные неравенства

Квадратные неравенства. Метод интервалов

Квадратное неравенство — это неравенство вида $ax^2 + bx + c > 0$ (или $<, \ge, \le$), где $a \neq 0$.

1. Метод интервалов (универсальный способ)

Алгоритм:

  1. Найти корни уравнения $ax^2 + bx + c = 0$
  2. Отметить корни на числовой прямой (они разбивают прямую на промежутки)
  3. Определить знак выражения на каждом промежутке (по параболе или пробной точкой)
  4. Выбрать промежутки с нужным знаком
  5. Учесть границы (строгое/нестрогое неравенство)
$$ax^2 + bx + c \;\vee\; 0, \qquad \vee \in \{>,\, <,\, \ge,\, \le\}$$

2. Определение знаков по параболе

Правила для $a > 0$ (ветви вверх):

  • Между корнями: знак отрицательный ($-$)
  • Вне корней: знак положительный ($+$)

Правила для $a < 0$ (ветви вниз):

  • Между корнями: знак положительный ($+$)
  • Вне корней: знак отрицательный ($-$)
Важно!

Запомните простое правило: для параболы "улыбка" ($a>0$) — между корнями минус, снаружи плюс. Для параболы "грусть" ($a<0$) — наоборот.

8. Особые случаи: всё множество чисел или одно число

В некоторых задачах решением неравенства может быть все числа или одно конкретное число. Это происходит в следующих случаях:

Случай 1: $D = 0$ — один корень

Пример 10 (одно число в ответе)

Решите неравенство: $x^2 - 6x + 9 \le 0$

  1. $x^2 - 6x + 9 = (x-3)^2$
  2. Корень: $x = 3$
  3. $(x-3)^2 \le 0$ выполняется только при $x = 3$
  4. Ответ: $x = 3$

Ответ: $x = 3$

Пример 11 (все числа, кроме одного)

Решите неравенство: $x^2 - 6x + 9 > 0$

  1. $(x-3)^2 > 0$ выполняется при всех $x$, кроме $x = 3$
  2. Ответ: $x \in (-\infty; 3) \cup (3; +\infty)$

Ответ: $x \in (-\infty; 3) \cup (3; +\infty)$

Пример 12 (все числа)

Решите неравенство: $x^2 - 6x + 9 \ge 0$

  1. $(x-3)^2 \ge 0$ выполняется при всех $x$
  2. Ответ: все числа

Ответ: $x \in (-\infty; +\infty)$

Случай 2: $D < 0$ — нет корней

В этом случае квадратный трёхчлен всегда либо положителен, либо отрицателен.

Пример 13 ($a > 0$, $D < 0$ — всегда положителен)

Решите неравенство: $x^2 + 2x + 5 > 0$

  1. $D = 4 - 20 = -16 < 0$, корней нет
  2. $a = 1 > 0$, ветви вверх
  3. Парабола всегда выше оси $Ox$ (вся парабола в верхней полуплоскости)
  4. Неравенство $> 0$ выполняется при всех $x$

Ответ: $x \in (-\infty; +\infty)$

Пример 14 ($a > 0$, $D < 0$ — решений нет)

Решите неравенство: $x^2 + 2x + 5 < 0$

  1. $D = -16 < 0$, $a = 1 > 0$
  2. Парабола всегда выше оси $Ox$
  3. Неравенство $< 0$ не выполняется никогда

Ответ: решений нет

Пример 15 ($a < 0$, $D < 0$ — всегда отрицателен)

Решите неравенство: $-x^2 + 2x - 5 < 0$

  1. $D = 4 - 20 = -16 < 0$, корней нет
  2. $a = -1 < 0$, ветви вниз
  3. Парабола всегда ниже оси $Ox$
  4. Неравенство $< 0$ выполняется при всех $x$

Ответ: $x \in (-\infty; +\infty)$

Пример 16 ($a < 0$, $D < 0$ — решений нет)

Решите неравенство: $-x^2 + 2x - 5 > 0$

  1. $D = -16 < 0$, $a = -1 < 0$
  2. Парабола всегда ниже оси $Ox$
  3. Неравенство $> 0$ не выполняется никогда

Ответ: решений нет

Случай 3: $D = 0$ и $a < 0$

Пример 17 ($a < 0$, $D = 0$)

Решите неравенство: $-x^2 + 6x - 9 \ge 0$

  1. $-x^2 + 6x - 9 = -(x^2 - 6x + 9) = -(x-3)^2$
  2. $-(x-3)^2 \ge 0 \Rightarrow (x-3)^2 \le 0$
  3. Выполняется только при $x = 3$
  4. Ответ: $x = 3$

Ответ: $x = 3$

Пример 18 ($a < 0$, $D = 0$, строгое)

Решите неравенство: $-x^2 + 6x - 9 > 0$

  1. $-(x-3)^2 > 0 \Rightarrow (x-3)^2 < 0$
  2. Квадрат не может быть отрицательным
  3. Решений нет

Ответ: решений нет

9. Сводная таблица особых случаев

УсловиеВид неравенстваРешение
$D < 0$, $a > 0$ $ax^2+bx+c > 0$ все числа
$D < 0$, $a > 0$ $ax^2+bx+c < 0$ нет решений
$D < 0$, $a < 0$ $ax^2+bx+c > 0$ нет решений
$D < 0$, $a < 0$ $ax^2+bx+c < 0$ все числа
$D = 0$, $a > 0$ $ax^2+bx+c \ge 0$ все числа
$D = 0$, $a > 0$ $ax^2+bx+c > 0$ все числа, кроме $x_0$
$D = 0$, $a > 0$ $ax^2+bx+c \le 0$ одно число: $x_0$
$D = 0$, $a > 0$ $ax^2+bx+c < 0$ нет решений
$D = 0$, $a < 0$ $ax^2+bx+c \le 0$ все числа
$D = 0$, $a < 0$ $ax^2+bx+c \ge 0$ одно число: $x_0$
Важно!

Если в ответе получается одно число — записываем его без промежутка (например, $x = 3$). Если решений нет — пишем «нет решений» или $\varnothing$.

3. Примеры решения

Пример 1 ($a > 0$, два корня)

Решите неравенство: $x^2 - 5x + 6 > 0$

  1. Находим корни: $x^2 - 5x + 6 = 0 \Rightarrow x_1 = 2, x_2 = 3$
  2. $a = 1 > 0$, ветви вверх ("улыбка")
  3. Отмечаем корни на прямой: 2 и 3
  4. Знаки: $(+\infty; 2)$ — $+$, $(2; 3)$ — $-$, $(3; +\infty)$ — $+$
  5. Нам нужен знак $+$ (так как $> 0$)
  6. Ответ: $x \in (-\infty; 2) \cup (3; +\infty)$

Ответ: $x \in (-\infty; 2) \cup (3; +\infty)$

Пример 2 ($a < 0$, два корня)

Решите неравенство: $-x^2 + 5x - 6 > 0$

  1. Находим корни: $-x^2 + 5x - 6 = 0 \Rightarrow x^2 - 5x + 6 = 0 \Rightarrow x_1 = 2, x_2 = 3$
  2. $a = -1 < 0$, ветви вниз ("грусть")
  3. Отмечаем корни на прямой: 2 и 3
  4. Знаки: $(+\infty; 2)$ — $-$, $(2; 3)$ — $+$, $(3; +\infty)$ — $-$
  5. Нам нужен знак $+$ (так как $> 0$)
  6. Ответ: $x \in (2; 3)$

Ответ: $x \in (2; 3)$

Пример 3 (нестрогое неравенство)

Решите неравенство: $x^2 - 5x + 6 \le 0$

  1. Корни: $x_1 = 2, x_2 = 3$
  2. $a = 1 > 0$, ветви вверх
  3. Знаки: $(+\infty; 2)$ — $+$, $(2; 3)$ — $-$, $(3; +\infty)$ — $+$
  4. Нам нужен знак $-$ (так как $\le 0$)
  5. Так как неравенство нестрогое ($\le$), включаем границы
  6. Ответ: $x \in [2; 3]$

Ответ: $x \in [2; 3]$

4. Особые случаи

Случай 1: $D = 0$ (один корень)

Пример 4 ($D = 0$)

Решите неравенство: $x^2 - 6x + 9 > 0$

  1. $x^2 - 6x + 9 = (x-3)^2$
  2. Корень: $x = 3$
  3. $a = 1 > 0$, ветви вверх
  4. $(x-3)^2 > 0$ при всех $x$, кроме $x = 3$
  5. Ответ: $x \in (-\infty; 3) \cup (3; +\infty)$

Ответ: $x \in (-\infty; 3) \cup (3; +\infty)$

Пример 5 ($D = 0$, нестрогое)

Решите неравенство: $x^2 - 6x + 9 \ge 0$

  1. $(x-3)^2 \ge 0$ при всех $x$
  2. Ответ: все числа

Ответ: $x \in (-\infty; +\infty)$

Случай 2: $D < 0$ (нет корней)

Пример 6 ($D < 0$, $a > 0$)

Решите неравенство: $x^2 + 2x + 5 > 0$

  1. $D = 4 - 20 = -16 < 0$, корней нет
  2. $a = 1 > 0$, ветви вверх
  3. Парабола всегда выше оси $Ox$
  4. Неравенство выполняется при всех $x$

Ответ: $x \in (-\infty; +\infty)$

Пример 7 ($D < 0$, $a < 0$)

Решите неравенство: $-x^2 + 2x - 5 > 0$

  1. $D = 4 - 20 = -16 < 0$, корней нет
  2. $a = -1 < 0$, ветви вниз
  3. Парабола всегда ниже оси $Ox$
  4. Неравенство $> 0$ не выполняется никогда

Ответ: решений нет

5. Сводная таблица для $D < 0$

$a$$ax^2 + bx + c > 0$$ax^2 + bx + c < 0$
$a > 0$все числанет решений
$a < 0$нет решенийвсе числа

6. Метод пробной точки

Если сложно запомнить правила для знаков, можно использовать метод пробной точки:

  1. Выбрать любое число из промежутка
  2. Подставить его в выражение
  3. Определить знак
Пример 8 (метод пробной точки)

Решите неравенство: $x^2 - 5x + 6 > 0$

  1. Корни: 2 и 3
  2. Промежутки: $(-\infty; 2)$, $(2; 3)$, $(3; +\infty)$
  3. Берём пробные точки: - $x = 0$: $0 - 0 + 6 = 6 > 0$ → знак $+$ - $x = 2.5$: $6.25 - 12.5 + 6 = -0.25 < 0$ → знак $-$ - $x = 4$: $16 - 20 + 6 = 2 > 0$ → знак $+$
  4. Нам нужен $+$: $(-\infty; 2)$ и $(3; +\infty)$

Ответ: $x \in (-\infty; 2) \cup (3; +\infty)$

7. Рациональные неравенства

Для неравенств вида $\dfrac{f(x)}{g(x)} > 0$ используем тот же метод интервалов, но:

  • Нули числителя — закрашенные точки (если нестрогое неравенство)
  • Нули знаменателя — всегда выколотые точки (ОДЗ!)
Пример 9 (дробное неравенство)

Решите неравенство: $\dfrac{x^2-4}{x-1} > 0$

  1. ОДЗ: $x \neq 1$
  2. Нули числителя: $x^2 - 4 = 0 \Rightarrow x = \pm 2$
  3. Отмечаем точки: -2 (числитель), 1 (знаменатель, выколотая), 2 (числитель)
  4. Проверяем знаки на промежутках методом пробной точки
  5. Получаем: $(+\infty; -2)$ — $+$, $(-2; 1)$ — $-$, $(1; 2)$ — $-$, $(2; +\infty)$ — $+$
  6. Нам нужен $+$: $(-\infty; -2)$ и $(2; +\infty)$

Ответ: $x \in (-\infty; -2) \cup (2; +\infty)$

← 11. Линейные неравенства. Системы неравенств