← Маршрут ОГЭ
Тема 13 из 72 · Функции

Линейная функция и парабола

y = kx + b и y = ax² + bx + c: знаки коэффициентов, чтение графика; задачи про печи (№1-5). Задание №11

ТГ-каналПодписывайся · там же запись на вводный урок t.me/algo_math ↗
Содержание 25 разделов
  1. Линейная функция и парабола
  2. Линейная функция. Прямая
  3. 1. Общий вид линейной функции
  4. 2. Что показывает коэффициент $k$
  5. 3. Что показывает коэффициент $b$
  6. 4. Как найти уравнение прямой по графику
  7. 5. Взаимное расположение прямых
  8. 6. Особые случаи линейной функции
  9. 7. Таблица для определения знаков $k$ и $b$
  10. 8. Типичные задания из ОГЭ
  11. Ключевые факты: линейная функция
  12. Квадратичная функция. Парабола
  13. 1. Общий вид квадратичной функции
  14. 2. Что показывает коэффициент $a$
  15. 3. Что показывает коэффициент $c$
  16. 4. Вершина параболы
  17. 5. Что показывает коэффициент $b$
  18. 6. Нули функции (корни)
  19. 7. Определение знаков коэффициентов по графику
  20. 8. Сводная таблица для определения знаков
  21. 9. Типичные задания из ОГЭ
  22. Ключевые факты: парабола
  23. Задачи про печи для бани — полный разбор
  24. Геометрическая задача про печь (радиус закругления арки)
  25. Ключевые факты для задач на печи

Линейная функция и парабола

В задании №11 ОГЭ нужно сопоставить графики и формулы. Почти всегда среди вариантов есть прямая и парабола, поэтому разбираем их вместе: у обеих всё решается по знакам коэффициентов, и отличить их друг от друга — первый шаг решения.

Как отличить с одного взгляда

$y = kx + b$ — прямая линия. $y = ax^2 + bx + c$ — парабола, симметричная кривая с вершиной. Если в формуле есть $x^2$ — это парабола, если только $x$ в первой степени — прямая.

Линейная функция. Прямая

Линейная функция — это функция вида $y = kx + b$, графиком которой является прямая линия.

Важно запомнить!

Линейная функция — самая простая функция. Её график — прямая, которую можно построить по двум точкам.

1. Общий вид линейной функции

$$y = kx + b$$

где:

  • $k$ — угловой коэффициент (отвечает за наклон прямой)
  • $b$ — свободный член (точка пересечения с осью $Oy$)

2. Что показывает коэффициент $k$

Угловой коэффициент $k$ определяет, как быстро растёт или убывает функция:

  • $k > 0$ — прямая возрастает (идёт вверх слева направо)
  • $k < 0$ — прямая убывает (идёт вниз слева направо)
  • $k = 0$ — прямая горизонтальна (параллельна оси $Ox$)
Как определить знак $k$ по графику?

Посмотрите на прямую: если она идёт вверх (как подъём в гору) — $k > 0$. Если вниз (спуск) — $k < 0$.

Пример 1 (возрастающая функция)

$y = 2x + 1$

  1. $k = 2 > 0$ → функция возрастает
  2. При увеличении $x$ на 1, $y$ увеличивается на 2
Пример 2 (убывающая функция)

$y = -3x + 5$

  1. $k = -3 < 0$ → функция убывает
  2. При увеличении $x$ на 1, $y$ уменьшается на 3

3. Что показывает коэффициент $b$

Свободный член $b$ — это точка пересечения графика с осью $Oy$.

$$\text{Точка пересечения с } Oy: (0; b)$$
  • $b > 0$ — прямая пересекает ось $Oy$ выше нуля
  • $b < 0$ — прямая пересекает ось $Oy$ ниже нуля
  • $b = 0$ — прямая проходит через начало координат
Пример 3 (разные $b$)

$y = 2x + 3$ — пересекает $Oy$ в точке (0; 3)

$y = 2x - 3$ — пересекает $Oy$ в точке (0; -3)

$y = 2x$ — проходит через начало координат (0; 0)

4. Как найти уравнение прямой по графику

Алгоритм:

  1. Найти $b$: посмотреть, где прямая пересекает ось $Oy$
  2. Найти $k$: взять две точки на прямой и вычислить $\dfrac{\Delta y}{\Delta x}$
  3. Записать уравнение $y = kx + b$
$$k = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{\Delta y}{\Delta x}$$
Пример 4 (построение уравнения)

Прямая проходит через точки (1; 3) и (3; 7). Найдите уравнение прямой.

  1. Находим $k$: $\dfrac{7-3}{3-1} = \dfrac{4}{2} = 2$
  2. Подставляем точку (1; 3): $3 = 2 \cdot 1 + b \Rightarrow b = 1$
  3. Уравнение: $y = 2x + 1$
  4. Проверка: для (3; 7): $7 = 2 \cdot 3 + 1 = 7$ ✓

Ответ: $y = 2x + 1$

Пример 5 (по графику)

По графику определить уравнение прямой.

  1. Прямая пересекает $Oy$ в точке (0; -2) → $b = -2$
  2. Берём точки (0; -2) и (2; 2)
  3. $k = \dfrac{2 - (-2)}{2 - 0} = \dfrac{4}{2} = 2$
  4. Уравнение: $y = 2x - 2$

Ответ: $y = 2x - 2$

5. Взаимное расположение прямых

Параллельные прямые:

$$k_1 = k_2$$

Перпендикулярные прямые:

$$k_1 \cdot k_2 = -1$$

Совпадающие прямые:

$$k_1 = k_2 \text{ и } b_1 = b_2$$
Пример 6 (параллельные прямые)

Какие прямые параллельны: $y = 2x + 3$ и $y = 2x - 5$?

  1. $k_1 = 2$, $k_2 = 2$
  2. $k_1 = k_2$, значит прямые параллельны

Ответ: да, параллельны

Пример 7 (перпендикулярные прямые)

Перпендикулярны ли прямые $y = 2x + 1$ и $y = -\dfrac{1}{2}x + 3$?

  1. $k_1 = 2$, $k_2 = -\dfrac{1}{2}$
  2. $k_1 \cdot k_2 = 2 \cdot \left(-\dfrac{1}{2}\right) = -1$
  3. Произведение равно -1, значит прямые перпендикулярны

Ответ: да, перпендикулярны

6. Особые случаи линейной функции

Прямая пропорциональность ($b = 0$):

$$y = kx$$

График проходит через начало координат.

Горизонтальная прямая ($k = 0$):

$$y = b$$

График параллелен оси $Ox$.

Вертикальная прямая:

$$x = a$$

Это НЕ функция (одному $x$ соответствует много $y$).

Пример 8 (особые случаи)

$y = 3x$ — проходит через (0; 0)

$y = 5$ — горизонтальная прямая на высоте 5

$x = 2$ — вертикальная прямая (не функция)

7. Таблица для определения знаков $k$ и $b$

$k$$b$Вид графика
$k > 0$$b > 0$Возрастает, пересекает $Oy$ выше нуля
$k > 0$$b < 0$Возрастает, пересекает $Oy$ ниже нуля
$k < 0$$b > 0$Убывает, пересекает $Oy$ выше нуля
$k < 0$$b < 0$Убывает, пересекает $Oy$ ниже нуля
$k > 0$$b = 0$Возрастает, проходит через начало координат
$k = 0$$b \neq 0$Горизонтальная прямая

8. Типичные задания из ОГЭ

Пример 9 (задание №11 ОГЭ)

На рисунке изображён график функции $y = kx + b$. Определите знаки $k$ и $b$.

  1. Прямая идёт вниз → $k < 0$
  2. Пересекает $Oy$ выше нуля → $b > 0$

Ответ: $k < 0$, $b > 0$

Пример 10 (задание №11 ОГЭ)

Найдите формулу, соответствующую графику:

  1. Прямая возрастает → $k > 0$
  2. Пересекает $Oy$ в точке (0; -2) → $b = -2$
  3. Из предложенных вариантов выбираем $y = 3x - 2$

Ответ: $y = 3x - 2$

Ключевые факты: линейная функция

  1. $y = kx + b$ — общий вид линейной функции
  2. $k > 0$ — функция возрастает, $k < 0$ — убывает
  3. $b$ — точка пересечения с осью $Oy$: $(0; b)$
  4. $k = \dfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$ — угловой коэффициент
  5. Параллельные прямые: $k_1 = k_2$
  6. Перпендикулярные прямые: $k_1 \cdot k_2 = -1$
  7. $y = kx$ — прямая пропорциональность (проходит через начало координат)
  8. $y = b$ — горизонтальная прямая
  9. Для определения $k$ по графику: подъём/пробег
  10. Для определения $b$ по графику: пересечение с $Oy$

Квадратичная функция. Парабола

Квадратичная функция — это функция вида $y = ax^2 + bx + c$, графиком которой является парабола.

Важно запомнить!

Парабола — это кривая, которая имеет вершину и ветви. Она симметрична относительно вертикальной прямой, проходящей через вершину.

1. Общий вид квадратичной функции

$$y = ax^2 + bx + c$$

где:

  • $a$ — определяет направление ветвей и "ширину" параболы
  • $b$ — влияет на положение вершины по оси $Ox$
  • $c$ — точка пересечения с осью $Oy$

2. Что показывает коэффициент $a$

Знак $a$ определяет направление ветвей:

  • $a > 0$ — ветви направлены вверх ("улыбка")
  • $a < 0$ — ветви направлены вниз ("грусть")

Модуль $|a|$ определяет "ширину" параболы:

  • $|a|$ большой → парабола узкая
  • $|a|$ маленький → парабола широкая
Пример 1 (направление ветвей)

$y = 2x^2 + 3x - 1$: $a = 2 > 0$ → ветви вверх

$y = -3x^2 + x + 5$: $a = -3 < 0$ → ветви вниз

3. Что показывает коэффициент $c$

Свободный член $c$ — это точка пересечения параболы с осью $Oy$.

$$\text{Точка пересечения с } Oy: (0; c)$$
Пример 2 (пересечение с $Oy$)

$y = 2x^2 + 3x - 1$: $c = -1$ → пересекает $Oy$ в точке (0; -1)

$y = -x^2 + 4x + 5$: $c = 5$ → пересекает $Oy$ в точке (0; 5)

4. Вершина параболы

Вершина — это точка, в которой парабола достигает минимума (если $a > 0$) или максимума (если $a < 0$).

$$x_{\text{верш}} = -\frac{b}{2a}$$
$$y_{\text{верш}} = ax_{\text{верш}}^2 + bx_{\text{верш}} + c = -\frac{D}{4a}$$

Ось симметрии: прямая $x = x_{\text{верш}}$.

Пример 3 (нахождение вершины)

Найдите вершину параболы: $y = x^2 - 4x + 3$

  1. $a = 1, b = -4, c = 3$
  2. $x_{\text{верш}} = -\dfrac{-4}{2 \cdot 1} = 2$
  3. $y_{\text{верш}} = 2^2 - 4 \cdot 2 + 3 = 4 - 8 + 3 = -1$

Ответ: вершина в точке (2; -1)

5. Что показывает коэффициент $b$

Коэффициент $b$ определяет положение вершины относительно оси $Oy$:

$$x_{\text{верш}} = -\frac{b}{2a}$$

Правило для определения знака $b$:

  • Если вершина правее оси $Oy$ ($x_{\text{верш}} > 0$), то $a$ и $b$ разных знаков
  • Если вершина левее оси $Oy$ ($x_{\text{верш}} < 0$), то $a$ и $b$ одного знака
  • Если вершина на оси $Oy$ ($x_{\text{верш}} = 0$), то $b = 0$
Важно!

Знак $b$ нельзя определить непосредственно по графику, только через положение вершины относительно оси $Oy$!

6. Нули функции (корни)

Нули функции — это точки пересечения параболы с осью $Ox$ ($y = 0$).

$$D = b^2 - 4ac$$
  • $D > 0$ — 2 нуля (парабола пересекает $Ox$ в двух точках)
  • $D = 0$ — 1 нуль (парабола касается $Ox$ в одной точке)
  • $D < 0$ — нет нулей (парабола не пересекает $Ox$)
Пример 4 (нули функции)

$y = x^2 - 5x + 6$

  1. $D = 25 - 24 = 1 > 0$ → 2 нуля
  2. Корни: $x_1 = 2, x_2 = 3$
  3. Точки пересечения с $Ox$: (2; 0) и (3; 0)

7. Определение знаков коэффициентов по графику

Пошаговый алгоритм:

  1. $a$: по направлению ветвей (вверх → $a > 0$, вниз → $a < 0$)
  2. $c$: по пересечению с $Oy$ (выше нуля → $c > 0$, ниже → $c < 0$)
  3. $b$: по положению вершины относительно $Oy$
Пример 5 (определение знаков)

На рисунке парабола с ветвями вниз, пересекает $Oy$ выше нуля, вершина правее оси $Oy$. Определить знаки $a$, $b$, $c$.

  1. Ветви вниз → $a < 0$
  2. Пересекает $Oy$ выше нуля → $c > 0$
  3. Вершина правее оси $Oy$ ($x_{\text{верш}} > 0$), $a < 0$ → $b > 0$

Ответ: $a < 0, b > 0, c > 0$

Пример 6 (определение знаков)

На рисунке парабола с ветвями вверх, пересекает $Oy$ ниже нуля, вершина левее оси $Oy$. Определить знаки $a$, $b$, $c$.

  1. Ветви вверх → $a > 0$
  2. Пересекает $Oy$ ниже нуля → $c < 0$
  3. Вершина левее оси $Oy$ ($x_{\text{верш}} < 0$), $a > 0$ → $b > 0$

Ответ: $a > 0, b > 0, c < 0$

8. Сводная таблица для определения знаков

$a$$c$Положение вершины$b$
$a > 0$$c > 0$правее $Oy$$b < 0$
$a > 0$$c > 0$левее $Oy$$b > 0$
$a < 0$$c > 0$правее $Oy$$b > 0$
$a < 0$$c < 0$левее $Oy$$b < 0$

9. Типичные задания из ОГЭ

Пример 7 (задание №11 ОГЭ)

На рисунке изображена парабола. Какое из утверждений верно?

  1. Ветви вниз → $a < 0$
  2. Пересекает $Oy$ выше нуля → $c > 0$
  3. Вершина левее оси $Oy$ → $a$ и $b$ одного знака → $b < 0$

Ответ: $a < 0, b < 0, c > 0$

Пример 8 (нахождение вершины)

Найдите координаты вершины параболы $y = -2x^2 + 8x - 3$.

  1. $a = -2, b = 8, c = -3$
  2. $x_{\text{верш}} = -\dfrac{8}{2 \cdot (-2)} = -\dfrac{8}{-4} = 2$
  3. $y_{\text{верш}} = -2 \cdot 4 + 8 \cdot 2 - 3 = -8 + 16 - 3 = 5$

Ответ: (2; 5)

Ключевые факты: парабола

  1. $y = ax^2 + bx + c$ — общий вид квадратичной функции
  2. $a > 0$ — ветви вверх, $a < 0$ — ветви вниз
  3. $c$ — точка пересечения с осью $Oy$: $(0; c)$
  4. $x_{\text{верш}} = -\dfrac{b}{2a}$ — абсцисса вершины
  5. $y_{\text{верш}} = ax_{\text{верш}}^2 + bx_{\text{верш}} + c$ — ордината вершины
  6. $D = b^2 - 4ac$ — дискриминант
  7. $D > 0$ — 2 нуля, $D = 0$ — 1 нуль, $D < 0$ — нет нулей
  8. Если вершина правее оси $Oy$, то $a$ и $b$ разных знаков
  9. Если вершина левее оси $Oy$, то $a$ и $b$ одного знака
  10. Ось симметрии: $x = x_{\text{верш}}$

Задачи про печи для бани — полный разбор

В заданиях №1-5 по теме "Печи" нужно уметь:

  • Находить объём помещения
  • Выбирать печь по объёму
  • Сравнивать стоимость с установкой и доставкой
  • Работать со скидками и процентами
  • Находить радиус закругления арки (геометрическая задача)
$$V = a \cdot b \cdot c \quad \text{(объём помещения)}$$
$$S_{\text{стен}} = 2(a+b) \cdot c \quad \text{(площадь стен)}$$
$$\text{Стоимость} = \text{цена печи} + \text{установка} + \text{доставка}$$
Задача 1 (соответствие объёма и номера печи)

Установите соответствие между объёмами помещения и номерами печей, для которых данный объём является наибольшим для отопления.

Объём (куб. м)191518
Номер печи
  1. Печь №1: от 8 до 15,5 → наибольший 15
  2. Печь №2: от 11 до 19,5 → наибольший 19
  3. Печь №3: от 9 до 18 → наибольший 18
  4. Заполняем: 19 → 2, 15 → 1, 18 → 3

Ответ: 213

Задача 2 (объём парного отделения)

Парное отделение имеет размеры: длина 3,6 м, ширина 2 м, высота 2,2 м. Найдите объём.

  1. $V = a \cdot b \cdot c = 3,6 \cdot 2 \cdot 2,2 = 15,84$ м³

Ответ: 15,84 м³

Задача 3 (площадь пола)

Найдите площадь пола парного отделения.

  1. $S_{\text{пола}} = a \cdot b = 3,6 \cdot 2 = 7,2$ м²

Ответ: 7,2 м²

Задача 4 (площадь стен без двери)

Найдите суммарную площадь стен парного отделения (без площади двери). Дверь: ширина 70 см, высота 1,8 м.

  1. $S_{\text{стен}} = 2(a+b) \cdot c = 2(3,6+2) \cdot 2,2 = 24,64$ м²
  2. $S_{\text{двери}} = 0,7 \cdot 1,8 = 1,26$ м²
  3. $S = 24,64 - 1,26 = 23,38$ м²

Ответ: 23,38 м²

Задача 5 (сравнение стоимости печей)

На сколько рублей покупка дровяной печи, подходящей по объёму, обойдётся дешевле электрической с учётом установки?

  1. Объём: $V = 15,84$ м³
  2. Подходящая дровяная печь: №2 (11-19,5 м³) → 22 000 руб.
  3. Электрическая печь: №3 (9-18 м³) → 17 100 + 5 400 (установка) = 22 500 руб.
  4. Разница: $22 500 - 22 000 = 500$ руб.

Ответ: 500 рублей

Задача 6 (дровяная печь с доставкой)

Сколько рублей будет стоить покупка дровяной печи с доставкой, если доставка стоит 1 700 рублей?

  1. Дровяная печь №2: 22 000 руб.
  2. С доставкой: $22 000 + 1 700 = 23 700$ руб.

Ответ: 23 700 рублей

Задача 7 (электрическая печь с установкой и доставкой)

Сколько рублей будет стоить покупка электрической печи с установкой и доставкой, если доставка стоит 900 рублей?

  1. Электрическая печь №3: 17 100 руб.
  2. Установка: 5 400 руб.
  3. Доставка: 900 руб.
  4. Итого: $17 100 + 5 400 + 900 = 23 400$ руб.

Ответ: 23 400 рублей

Задача 8 (скидка на печь)

На печь массой 45 кг сделали скидку 15%. Сколько стала стоить печь?

  1. Печь массой 45 кг — №1, стоимость 19 500 руб.
  2. Скидка: $19 500 \cdot 0,15 = 2 925$ руб.
  3. Новая цена: $19 500 - 2 925 = 16 575$ руб.

Ответ: 16 575 рублей

Задача 9 (цена печи в прошлом году)

В прошлом году печь №3 стоила дороже. На неё сделали скидку 25%. Сейчас цена 17 100 руб. Сколько стоила печь в прошлом году?

  1. Пусть $x$ — цена в прошлом году
  2. Сейчас цена = 75% от прошлогодней: $0,75x = 17 100$
  3. $x = 17 100 : 0,75 = 22 800$ руб.

Ответ: 22 800 рублей

Задача 10 (покупка печи со скидкой на доставку)

Доставка стоит 1 100 руб. При покупке печи дороже 20 000 руб. скидка 10% на товар и 30% на доставку. Сколько будет стоить печь №2?

  1. Печь №2: 22 000 руб. (> 20 000) → скидка 10%
  2. Цена со скидкой: $22 000 \cdot 0,9 = 19 800$ руб.
  3. Доставка: 1 100 руб., скидка 30% → $1 100 \cdot 0,7 = 770$ руб.
  4. Итого: $19 800 + 770 = 20 570$ руб.

Ответ: 20 570 рублей

Геометрическая задача про печь (радиус закругления арки)

Задача 11 (радиус закругления арки)

Найдите радиус закругления арки R в сантиметрах. На чертеже: AB = 60 см, BD = 64 см, C — середина BD.

  1. С — середина BD → $BC = 64 : 2 = 32$ см
  2. Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC: - $AB = 60$ см, $BC = 32$ см, $AC = R$
  3. По теореме Пифагора: $R^2 = 60^2 + 32^2 = 3600 + 1024 = 4624$
  4. $R = \sqrt{4624} = 68$ см

Ответ: 68 см

Ключевые факты для задач на печи

  1. $V = abc$ — объём помещения
  2. $S_{\text{стен}} = 2(a+b) \cdot c$ — площадь стен
  3. При выборе печи: объём помещения должен входить в диапазон печи
  4. Стоимость = цена печи + установка + доставка
  5. Скидка в процентах: новая цена = старая $\cdot (1 - \dfrac{p}{100})$
  6. При последовательных скидках умножаем коэффициенты
  7. Для нахождения радиуса арки используй теорему Пифагора
  8. В задачах с аркой часто нужно найти радиус через дополнительное построение
  9. Округляй ответ в соответствии с требованием задачи
  10. Проверяй: радиус должен быть положительным числом
← 12. Квадратные неравенства. Метод интервалов