Тема 14 из 72 · Функции

Гипербола. Другие функции

y = k/x, кусочные функции, sqrt. Задание №11

ТГ-каналПодписывайся · там же запись на вводный урок t.me/algo_math ↗

Гипербола. Другие функции

В задании №11 ОГЭ часто встречаются графики различных функций. Нужно уметь узнавать их по формуле и определять основные свойства.

Важно запомнить!

Каждая функция имеет свой "узнаваемый" график. Научитесь определять тип функции по её формуле — это ключ к успеху в задании №11.

1. Гипербола ($y = \dfrac{k}{x}$)

Гипербола — это график обратной пропорциональности.

$$y = \frac{k}{x}$$

Основные свойства:

Область определения: $x \neq 0$
Оси координат — асимптоты (график к ним стремится, но не пересекает)
График симметричен относительно начала координат
Точка $(1; k)$ всегда лежит на графике

Расположение в зависимости от $k$:

$k > 0$ — график в I и III четвертях
$k < 0$ — график в II и IV четвертях

Пример 1 ($k > 0$)

$y = \dfrac{2}{x}$

$k = 2 > 0$ → I и III четверти
Точка (1; 2) на графике
При $x \to +\infty$, $y \to 0$ (сверху)
При $x \to -\infty$, $y \to 0$ (снизу)

Пример 2 ($k < 0$)

$y = -\dfrac{3}{x}$

$k = -3 < 0$ → II и IV четверти
Точка (1; -3) на графике
При $x \to +\infty$, $y \to 0$ (снизу)
При $x \to -\infty$, $y \to 0$ (сверху)

Пример 3 (определение по графику)

На рисунке гипербола расположена во II и IV четвертях. Определите знак $k$.

График во II и IV четвертях → $k < 0$

Ответ: $k < 0$

2. Функция корня ($y = \sqrt{x}$)

Функция корня — это график квадратного корня.

$$y = \sqrt{x}, \quad x \ge 0$$

Основные свойства:

Область определения: $x \ge 0$
Область значений: $y \ge 0$
Функция возрастает на всей области определения
Проходит через точки: (0; 0), (1; 1), (4; 2), (9; 3), (16; 4)

Пример 4 (график корня)

$y = \sqrt{x}$

Начинается в точке (0; 0)
Растёт, но всё медленнее
Точки: (1; 1), (4; 2), (9; 3)

3. Функция модуля ($y = |x|$)

Функция модуля — это V-образный график.

$$y = |x|$$

Основные свойства:

Область определения: все числа
Область значений: $y \ge 0$
Вершина в точке (0; 0)
График симметричен относительно оси $Oy$
При $x \ge 0$: $y = x$ (возрастает)
При $x < 0$: $y = -x$ (убывает)

Пример 5 (график модуля)

$y = |x|$

V-образный график с вершиной в (0; 0)
Правая ветвь: $y = x$
Левая ветвь: $y = -x$
Симметричен относительно $Oy$

4. Сравнение графиков функций

Функция	Формула	Вид графика	Особенности
Линейная	$y = kx + b$	Прямая	$k$ — наклон, $b$ — пересечение с $Oy$
Квадратичная	$y = ax^2 + bx + c$	Парабола	$a$ — направление ветвей
Гипербола	$y = \dfrac{k}{x}$	Гипербола	$k$ — четверти
Корень	$y = \sqrt{x}$	Ветвь параболы	$x \ge 0$
Модуль	$y = \|x\|$	V-образный	Симметричен

5. Кусочные функции

Кусочная функция — это функция, которая на разных промежутках задаётся разными формулами.

Пример 6 (кусочная функция)

$y = \begin{cases} x^2, & x \le 0 \\ x, & x > 0 \end{cases}$

При $x \le 0$: парабола $y = x^2$ (левая ветвь)
При $x > 0$: прямая $y = x$
В точке $x = 0$: $y = 0$ (оба куска дают 0)

6. Определение функции по графику

Алгоритм:

Определить тип графика (прямая, парабола, гипербола, корень, модуль)
Записать общий вид функции
Найти коэффициенты по точкам на графике
Записать конкретную формулу

Пример 7 (определение функции)

На рисунке гипербола, проходящая через точку (1; 3). Найдите формулу.

Это гипербола → $y = \dfrac{k}{x}$
Подставляем точку (1; 3): $3 = \dfrac{k}{1} \Rightarrow k = 3$
Формула: $y = \dfrac{3}{x}$

Ответ: $y = \dfrac{3}{x}$

Пример 8 (определение функции)

На рисунке V-образный график с вершиной в (0; 0), проходящий через точку (2; 2). Найдите формулу.

Это модуль → $y = |x|$
Проверяем точку (2; 2): $2 = |2|$ ✓
Формула: $y = |x|$

Ответ: $y = |x|$

7. Типичные задания из ОГЭ

Пример 9 (задание №11 ОГЭ)

Установите соответствие между графиками и формулами.

График 1: прямая → $y = 2x - 1$
График 2: парабола → $y = x^2 - 2x$
График 3: гипербола → $y = \dfrac{2}{x}$

Пример 10 (задание №11 ОГЭ)

Функция задана формулой $y = -\dfrac{2}{x}$. В каких четвертях расположен её график?

$k = -2 < 0$
График расположен во II и IV четвертях

Ответ: II и IV четверти

← 13. Линейная функция и парабола 15. Расчёты по формулам →