Тема 15 из 72 · Алгебра

Расчёты по формулам

Подстановка в формулы; задачи про печи (№1-5). Задание №12

ТГ-каналПодписывайся · там же запись на вводный урок t.me/algo_math ↗

Расчёты по формулам

Расчёт по формуле — это подстановка известных значений в формулу и вычисление неизвестной величины.

Важно запомнить!

В задании №12 ОГЭ даётся формула и значения некоторых переменных. Нужно найти значение другой переменной, подставив числа и выполнив вычисления.

1. Прямая подстановка в формулу

Алгоритм:

Выписать формулу
Подставить известные значения
Вычислить результат (соблюдая порядок действий)
Записать ответ с единицами измерения

Пример 1 (прямая подстановка)

По формуле $S = vt + \dfrac{at^2}{2}$ найдите $S$, если $v = 2$, $t = 4$, $a = 3$.

Выписываем формулу: $S = vt + \dfrac{at^2}{2}$
Подставляем: $S = 2 \cdot 4 + \dfrac{3 \cdot 4^2}{2}$
Сначала степень: $4^2 = 16$
Умножение: $2 \cdot 4 = 8$, $3 \cdot 16 = 48$
Деление: $\dfrac{48}{2} = 24$
Сложение: $8 + 24 = 32$

Ответ: $S = 32$

Пример 2 (подстановка с отрицательными числами)

По формуле $F = ma$ найдите $F$, если $m = -2$, $a = 5$.

Формула: $F = ma$
Подставляем: $F = -2 \cdot 5 = -10$

Ответ: $F = -10$

2. Выражение переменной из формулы

Когда нужно: когда искомая переменная не выражена явно в формуле.

Правило: Использовать обратные операции, чтобы "изолировать" нужную переменную.

Операция	Обратная операция
Сложение ($+$)	Вычитание ($-$)
Вычитание ($-$)	Сложение ($+$)
Умножение ($\cdot$)	Деление ($:$)
Деление ($:$)	Умножение ($\cdot$)
Возведение в квадрат	Извлечение корня

Пример 3 (выражение переменной)

Из формулы $S = vt$ выразите $v$.

Исходная формула: $S = vt$
Чтобы найти $v$, нужно разделить обе части на $t$
$v = \dfrac{S}{t}$

Ответ: $v = \dfrac{S}{t}$

Пример 4 (выражение переменной)

Из формулы $S = \dfrac{a+b}{2} \cdot h$ выразите $h$.

Исходная формула: $S = \dfrac{a+b}{2} \cdot h$
Умножаем обе части на 2: $2S = (a+b) \cdot h$
Делим обе части на $(a+b)$: $h = \dfrac{2S}{a+b}$

Ответ: $h = \dfrac{2S}{a+b}$

Пример 5 (выражение переменной)

Из формулы $E = \dfrac{mv^2}{2}$ выразите $v$.

Исходная формула: $E = \dfrac{mv^2}{2}$
Умножаем на 2: $2E = mv^2$
Делим на $m$: $\dfrac{2E}{m} = v^2$
Извлекаем корень: $v = \sqrt{\dfrac{2E}{m}}$

Ответ: $v = \sqrt{\dfrac{2E}{m}}$

3. Расчёт после выражения переменной

Пример 6 (полный расчёт)

По формуле $S = \dfrac{(a+b)h}{2}$ найдите $h$, если $S = 30$, $a = 4$, $b = 6$.

Выражаем $h$: $h = \dfrac{2S}{a+b}$
Подставляем: $h = \dfrac{2 \cdot 30}{4 + 6} = \dfrac{60}{10} = 6$

Ответ: $h = 6$

Пример 7 (физическая формула)

По формуле $Q = cm(t_2 - t_1)$ найдите $c$, если $Q = 8400$, $m = 2$, $t_2 = 30$, $t_1 = 10$.

Выражаем $c$: $c = \dfrac{Q}{m(t_2 - t_1)}$
Вычисляем $t_2 - t_1 = 30 - 10 = 20$
Подставляем: $c = \dfrac{8400}{2 \cdot 20} = \dfrac{8400}{40} = 210$

Ответ: $c = 210$

4. Типичные формулы из ОГЭ

Формула	Что обозначает	Выражение переменной
$S = vt$	Путь = скорость × время	$v = \dfrac{S}{t}$, $t = \dfrac{S}{v}$
$S = \dfrac{(a+b)h}{2}$	Площадь трапеции	$h = \dfrac{2S}{a+b}$
$F = ma$	Сила = масса × ускорение	$m = \dfrac{F}{a}$, $a = \dfrac{F}{m}$
$Q = cm\Delta t$	Количество теплоты	$c = \dfrac{Q}{m\Delta t}$
$E = \dfrac{mv^2}{2}$	Кинетическая энергия	$v = \sqrt{\dfrac{2E}{m}}$

5. Порядок действий в вычислениях

Важно соблюдать правильный порядок действий:

Степени и корни
Умножение и деление (слева направо)
Сложение и вычитание (слева направо)

Пример 8 (порядок действий)

Вычислите: $3 + 4 \cdot 2^3 - 6 : 2$

Степень: $2^3 = 8$
Умножение: $4 \cdot 8 = 32$
Деление: $6 : 2 = 3$
Сложение/вычитание: $3 + 32 - 3 = 32$

Ответ: 32

6. Единицы измерения

Важно!

Все величины в формуле должны быть в согласованных единицах измерения. Нельзя смешивать метры и километры, секунды и часы!

Пример 9 (единицы измерения)

Скорость $v = 72$ км/ч, время $t = 30$ минут. Найдите путь $S$.

Переводим время в часы: $30$ мин = $0.5$ ч
Формула: $S = vt = 72 \cdot 0.5 = 36$ км

Ответ: $S = 36$ км

← 14. Гипербола. Другие функции 16. Пробник первой части: алгебра →