Тема 17 из 72 · Вероятность

Классическая вероятность

P = m/n, благоприятные и все исходы. Задание №10

ТГ-каналПодписывайся · там же запись на вводный урок t.me/algo_math ↗

Классическая вероятность

Вероятность — это числовая характеристика того, насколько возможно наступление некоторого события.

Важно запомнить!

Вероятность всегда находится в пределах от 0 до 1. $P = 0$ — событие невозможно, $P = 1$ — событие обязательно произойдёт.

1. Основная формула вероятности

$$P = \frac{m}{n}$$

где:

$m$ — число благоприятных исходов (то, что мы ищем)
$n$ — число всех возможных исходов

Важно!

Все исходы должны быть равновозможными! Если исходы не равновероятны, классическую формулу применять нельзя.

2. Алгоритм решения задач на вероятность

Определить общее число всех возможных исходов $n$
Определить число благоприятных исходов $m$
Вычислить вероятность по формуле $P = \dfrac{m}{n}$
Записать ответ в виде десятичной дроби или процентов

3. Примеры задач на вероятность

Пример 1 (шары в урне)

В урне 3 красных, 4 синих и 5 зелёных шаров. Найти вероятность того, что наугад вынутый шар будет красным.

Всего шаров: $n = 3 + 4 + 5 = 12$
Благоприятных (красных): $m = 3$
$P = \dfrac{3}{12} = \dfrac{1}{4} = 0,25$

Ответ: $0,25$

Пример 2 (монета)

Монету бросают один раз. Найти вероятность выпадения орла.

Всего исходов: $n = 2$ (орёл или решка)
Благоприятных (орёл): $m = 1$
$P = \dfrac{1}{2} = 0,5$

Ответ: $0,5$

Пример 3 (кубик)

Игральный кубик бросают один раз. Найти вероятность выпадения числа больше 4.

Всего исходов: $n = 6$ (числа 1, 2, 3, 4, 5, 6)
Благоприятных (больше 4): $m = 2$ (5 и 6)
$P = \dfrac{2}{6} = \dfrac{1}{3} \approx 0,333$

Ответ: $\dfrac{1}{3}$

4. Задачи с монетами (несколько бросков)

Пример 4 (две монеты)

Две монеты бросают одновременно. Найти вероятность того, что выпадет хотя бы один орёл.

Всего исходов: $n = 2 \cdot 2 = 4$ (ОО, ОР, РО, РР)
Благоприятных (хотя бы один орёл): $m = 3$ (ОО, ОР, РО)
$P = \dfrac{3}{4} = 0,75$

Ответ: $0,75$

Пример 5 (три монеты)

Три монеты бросают одновременно. Найти вероятность того, что выпадет ровно два орла.

Всего исходов: $n = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 8$
Благоприятных (ровно два орла): ООР, ОРО, РОО → $m = 3$
$P = \dfrac{3}{8} = 0,375$

Ответ: $0,375$

5. Задачи с кубиками (несколько бросков)

Пример 6 (два кубика)

Два игральных кубика бросают одновременно. Найти вероятность того, что сумма очков будет равна 7.

Всего исходов: $n = 6 \cdot 6 = 36$
Благоприятных (сумма = 7): (1;6), (2;5), (3;4), (4;3), (5;2), (6;1) → $m = 6$
$P = \dfrac{6}{36} = \dfrac{1}{6} \approx 0,167$

Ответ: $\dfrac{1}{6}$

6. Вероятность противоположного события

$$P(\text{не } A) = 1 - P(A)$$

Когда применять: когда проще посчитать вероятность того, что событие НЕ произойдёт.

Пример 7 (противоположное событие)

Из колоды 36 карт наугад вынимают одну. Найти вероятность того, что это не туз.

Всего карт: $n = 36$
Тузов в колоде: 4 (4 масти) → $m = 4$
$P(\text{туз}) = \dfrac{4}{36} = \dfrac{1}{9}$
$P(\text{не туз}) = 1 - \dfrac{1}{9} = \dfrac{8}{9}$

Ответ: $\dfrac{8}{9}$

7. Задачи с карточками и числами

Пример 8 (карточки с числами)

На карточках написаны числа от 1 до 10. Наугад выбирают одну. Найти вероятность того, что число чётное.

Всего чисел: $n = 10$
Чётных чисел: 2, 4, 6, 8, 10 → $m = 5$
$P = \dfrac{5}{10} = 0,5$

Ответ: $0,5$

Пример 9 (лотерейный билет)

В лотерее 100 билетов, из них 10 выигрышных. Найти вероятность того, что купленный билет окажется выигрышным.

Всего билетов: $n = 100$
Выигрышных: $m = 10$
$P = \dfrac{10}{100} = 0,1$

Ответ: $0,1$

8. Сводная таблица типичных задач

Тип задачи	$n$ (всего)	$m$ (благоприятных)	Пример
Одна монета	2	1 (орёл или решка)	$P = \dfrac{1}{2}$
Две монеты	4	по условию	$P = \dfrac{m}{4}$
Один кубик	6	по условию	$P = \dfrac{m}{6}$
Два кубика	36	по условию	$P = \dfrac{m}{36}$
Шары в урне	сумма всех шаров	число нужных шаров	$P = \dfrac{m}{n}$
Карточки с числами	количество чисел	число подходящих	$P = \dfrac{m}{n}$

← 16. Пробник первой части: алгебра 18. Статистика. Теоремы о вероятностях →