Тема 18 из 72 · Вероятность

Статистика. Теоремы о вероятностях

Среднее, медиана, мода. Сложение/умножение вероятностей. Задание №10

ТГ-каналПодписывайся · там же запись на вводный урок t.me/algo_math ↗

Статистика. Теоремы о вероятностях

Статистика — это раздел математики, который изучает сбор, анализ и интерпретацию данных.

Важно запомнить!

В задании №10 ОГЭ могут встретиться как статистические характеристики (среднее, мода, медиана), так и теоремы о вероятностях.

1. Статистические характеристики

Среднее арифметическое:

$$\text{Среднее} = \frac{\text{сумма всех значений}}{\text{количество значений}}$$

Пример 1 (среднее арифметическое)

Найдите среднее арифметическое чисел: 4, 7, 9, 12, 18

Сумма: $4 + 7 + 9 + 12 + 18 = 50$
Количество: 5 чисел
Среднее: $\dfrac{50}{5} = 10$

Ответ: 10

Мода:

Мода — это значение, которое встречается в ряду чаще всего.

Может быть несколько мод (если несколько значений встречаются одинаково часто)
Может не быть моды (если все значения встречаются по одному разу)

Пример 2 (мода)

Найдите моду ряда чисел: 2, 3, 5, 3, 7, 3, 8

Считаем, сколько раз встречается каждое число: - 2: 1 раз - 3: 3 раза ← чаще всего - 5: 1 раз - 7: 1 раз - 8: 1 раз
Мода = 3

Ответ: 3

Пример 3 (несколько мод)

Найдите моду ряда чисел: 1, 2, 2, 3, 3, 4

2 встречается 2 раза
3 встречается 2 раза
Оба числа встречаются одинаково часто

Ответ: 2 и 3

Медиана:

Медиана — это значение, которое стоит в середине упорядоченного ряда.

Алгоритм:

Упорядочить ряд по возрастанию
Если чисел нечётное количество — медиана = среднее число
Если чисел чётное количество — медиана = среднее арифметическое двух средних чисел

Пример 4 (медиана, нечётное количество)

Найдите медиану ряда чисел: 3, 7, 2, 9, 5

Упорядочиваем: 2, 3, 5, 7, 9
Всего 5 чисел (нечётное)
Среднее число: 5 (третье по счёту)

Ответ: 5

Пример 5 (медиана, чётное количество)

Найдите медиану ряда чисел: 2, 3, 3, 5, 7, 8

Ряд уже упорядочен
Всего 6 чисел (чётное)
Средние числа: 3 и 5 (третье и четвёртое)
Медиана: $\dfrac{3+5}{2} = 4$

Ответ: 4

2. Сравнение статистических характеристик

Характеристика	Что показывает	Как найти
Среднее	Среднее значение	Сумма / количество
Мода	Самое частое значение	Посчитать частоты
Медиана	Среднее по положению	Упорядочить, найти середину

Важно!

Не путайте моду и медиану! Мода — самое частое, медиана — среднее по положению. В одном ряду они могут совпадать, а могут и различаться.

3. Теоремы о вероятностях

Теорема сложения (для несовместных событий):

$$P(A \text{ или } B) = P(A) + P(B)$$

Несовместные события — события, которые не могут произойти одновременно.

Пример 6 (несовместные события)

В урне 3 красных, 4 синих и 5 зелёных шаров. Найти вероятность того, что вынутый шар будет красным или синим.

$P(\text{красный}) = \dfrac{3}{12} = \dfrac{1}{4}$
$P(\text{синий}) = \dfrac{4}{12} = \dfrac{1}{3}$
События несовместны (шар не может быть одновременно красным и синим)
$P(\text{красный или синий}) = \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{3} = \dfrac{3}{12} + \dfrac{4}{12} = \dfrac{7}{12}$

Ответ: $\dfrac{7}{12}$

Теорема умножения (для независимых событий):

$$P(A \text{ и } B) = P(A) \cdot P(B)$$

Независимые события — события, при которых наступление одного не влияет на наступление другого.

Пример 7 (независимые события)

Монету бросают дважды. Найти вероятность того, что оба раза выпадет орёл.

$P(\text{орёл}) = \dfrac{1}{2}$
События независимы (результат первого броска не влияет на второй)
$P(\text{орёл и орёл}) = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{4}$

Ответ: $\dfrac{1}{4}$

Пример 8 (комбинация теорем)

Игральный кубик бросают дважды. Найти вероятность того, что в сумме выпадет 7.

Всего исходов: $n = 36$
Благоприятных: (1;6), (2;5), (3;4), (4;3), (5;2), (6;1) → $m = 6$
$P = \dfrac{6}{36} = \dfrac{1}{6}$

Ответ: $\dfrac{1}{6}$

4. Различие между теоремами

Теорема	Когда применять	Ключевые слова
Сложения	События несовместны	"или", "хотя бы один"
Умножения	События независимы	"и", "оба", "подряд"

Важно!

Теорема сложения работает ТОЛЬКО для несовместных событий! Если события совместны, формула меняется: $P(A \text{ или } B) = P(A) + P(B) - P(A \text{ и } B)$.

← 17. Классическая вероятность 19. Арифметическая прогрессия →