Тема 19 из 72 · Алгебра

Арифметическая прогрессия

Формулы n-го члена и суммы. Задание №14

ТГ-каналПодписывайся · там же запись на вводный урок t.me/algo_math ↗

Арифметическая прогрессия

Арифметическая прогрессия — это последовательность чисел, в которой каждый следующий член получается прибавлением к предыдущему одного и того же числа.

Важно запомнить!

Ключевое слово в арифметической прогрессии — "каждый следующий больше (или меньше) предыдущего на одно и то же число". Это число называется разностью прогрессии.

1. Основные элементы

$a_1$ — первый член прогрессии
$d$ — разность прогрессии (число, на которое увеличивается каждый следующий член)
$a_n$ — $n$-й член прогрессии
$S_n$ — сумма первых $n$ членов

Пример 1 (построение прогрессии)

Дана прогрессия: $a_1 = 3$, $d = 2$. Напишите первые 5 членов.

$a_1 = 3$
$a_2 = 3 + 2 = 5$
$a_3 = 5 + 2 = 7$
$a_4 = 7 + 2 = 9$
$a_5 = 9 + 2 = 11$

Ответ: 3, 5, 7, 9, 11

2. Формула $n$-го члена

$$a_n = a_1 + (n-1)d$$

Смысл формулы: Чтобы найти $n$-й член, нужно к первому члену прибавить разность $(n-1)$ раз.

Пример 2 (нахождение члена)

Дано: $a_1 = 5$, $d = 3$. Найдите $a_{10}$.

$a_{10} = a_1 + (10-1)d$
$a_{10} = 5 + 9 \cdot 3 = 5 + 27 = 32$

Ответ: $a_{10} = 32$

Пример 3 (нахождение номера члена)

Дано: $a_1 = 2$, $d = 4$, $a_n = 30$. Найдите $n$.

$a_n = a_1 + (n-1)d$
$30 = 2 + (n-1) \cdot 4$
$30 - 2 = (n-1) \cdot 4$
$28 = (n-1) \cdot 4$
$n-1 = 7$
$n = 8$

Ответ: $n = 8$

3. Формула суммы первых $n$ членов

$$S_n = \frac{(a_1 + a_n) \cdot n}{2}$$

Смысл формулы: Сумма равна произведению среднего арифметического первого и последнего членов на их количество.

Пример 4 (нахождение суммы)

Дано: $a_1 = 5$, $a_{10} = 32$. Найдите $S_{10}$.

$S_{10} = \dfrac{(a_1 + a_{10}) \cdot 10}{2}$
$S_{10} = \dfrac{(5 + 32) \cdot 10}{2} = \dfrac{37 \cdot 10}{2} = \dfrac{370}{2} = 185$

Ответ: $S_{10} = 185$

Пример 5 (сумма через $a_1$ и $d$)

Дано: $a_1 = 3$, $d = 2$, $n = 5$. Найдите $S_5$.

Сначала найдём $a_5 = 3 + (5-1) \cdot 2 = 3 + 8 = 11$
$S_5 = \dfrac{(3 + 11) \cdot 5}{2} = \dfrac{14 \cdot 5}{2} = \dfrac{70}{2} = 35$

Ответ: $S_5 = 35$

4. Альтернативная формула суммы

$$S_n = \frac{2a_1 + (n-1)d}{2} \cdot n$$

Эта формула удобна, когда известны $a_1$, $d$ и $n$, но неизвестен $a_n$.

Пример 6 (альтернативная формула)

Дано: $a_1 = 3$, $d = 2$, $n = 5$. Найдите $S_5$.

$S_5 = \dfrac{2 \cdot 3 + (5-1) \cdot 2}{2} \cdot 5$
$S_5 = \dfrac{6 + 4 \cdot 2}{2} \cdot 5 = \dfrac{6 + 8}{2} \cdot 5 = \dfrac{14}{2} \cdot 5 = 7 \cdot 5 = 35$

Ответ: $S_5 = 35$

5. Свойства арифметической прогрессии

Свойство 1: Нахождение разности

$$d = a_n - a_{n-1}$$

Пример 7 (нахождение разности)

Дана прогрессия: 4, 7, 10, 13, ... Найдите $d$.

$d = 7 - 4 = 3$
Проверка: $10 - 7 = 3$, $13 - 10 = 3$ ✓

Ответ: $d = 3$

Свойство 2: Среднее арифметическое соседних членов

$$a_n = \frac{a_{n-1} + a_{n+1}}{2}$$

Пример 8 (пропущенный член)

Дана прогрессия: 5, __, 11. Найдите пропущенный член.

$a_2 = \dfrac{a_1 + a_3}{2} = \dfrac{5 + 11}{2} = \dfrac{16}{2} = 8$
Проверка: $d = 8 - 5 = 3$, $11 - 8 = 3$ ✓

Ответ: 8

6. Типичные задачи из ОГЭ

Пример 9 (задание №14 ОГЭ)

Дана арифметическая прогрессия: -4, -1, 2, ... Найдите сумму первых 6 членов.

$a_1 = -4$, $d = -1 - (-4) = 3$
$a_6 = -4 + (6-1) \cdot 3 = -4 + 15 = 11$
$S_6 = \dfrac{(-4 + 11) \cdot 6}{2} = \dfrac{7 \cdot 6}{2} = \dfrac{42}{2} = 21$

Ответ: $S_6 = 21$

Пример 10 (задание №14 ОГЭ)

В арифметической прогрессии $a_1 = 2$, $a_4 = 11$. Найдите $a_{10}$.

$a_4 = a_1 + 3d$
$11 = 2 + 3d$
$3d = 9 \Rightarrow d = 3$
$a_{10} = 2 + 9 \cdot 3 = 2 + 27 = 29$

Ответ: $a_{10} = 29$

7. Сводная таблица формул

Что нужно найти	Формула
$n$-й член	$a_n = a_1 + (n-1)d$
Разность	$d = a_n - a_{n-1}$
Сумма $n$ членов	$S_n = \dfrac{(a_1 + a_n) \cdot n}{2}$
Сумма через $a_1$ и $d$	$S_n = \dfrac{2a_1 + (n-1)d}{2} \cdot n$
Пропущенный член	$a_n = \dfrac{a_{n-1} + a_{n+1}}{2}$

← 18. Статистика. Теоремы о вероятностях 20. Геометрическая прогрессия →