Тема 20 из 72 · Алгебра

Геометрическая прогрессия

Формулы n-го члена и суммы. Задание №14

ТГ-каналПодписывайся · там же запись на вводный урок t.me/algo_math ↗

Геометрическая прогрессия

Геометрическая прогрессия — это последовательность чисел, в которой каждый следующий член получается умножением предыдущего на одно и то же число.

Важно запомнить!

Ключевое слово в геометрической прогрессии — "каждый следующий больше (или меньше) предыдущего в одно и то же число раз". Это число называется знаменателем прогрессии.

1. Основные элементы

$b_1$ — первый член прогрессии
$q$ — знаменатель прогрессии (число, на которое умножается каждый следующий член)
$b_n$ — $n$-й член прогрессии
$S_n$ — сумма первых $n$ членов

Пример 1 (построение прогрессии)

Дана прогрессия: $b_1 = 2$, $q = 3$. Напишите первые 5 членов.

$b_1 = 2$
$b_2 = 2 \cdot 3 = 6$
$b_3 = 6 \cdot 3 = 18$
$b_4 = 18 \cdot 3 = 54$
$b_5 = 54 \cdot 3 = 162$

Ответ: 2, 6, 18, 54, 162

2. Формула $n$-го члена

$$b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$$

Смысл формулы: Чтобы найти $n$-й член, нужно первый член умножить на знаменатель в степени $(n-1)$.

Пример 2 (нахождение члена)

Дано: $b_1 = 3$, $q = 2$. Найдите $b_6$.

$b_6 = b_1 \cdot q^{6-1} = 3 \cdot 2^5$
$b_6 = 3 \cdot 32 = 96$
Проверка: 3, 6, 12, 24, 48, 96 ✓

Ответ: $b_6 = 96$

Пример 3 (нахождение номера члена)

Дано: $b_1 = 1$, $q = 2$, $b_n = 32$. Найдите $n$.

$b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$
$32 = 1 \cdot 2^{n-1}$
$2^{n-1} = 32 = 2^5$
$n-1 = 5 \Rightarrow n = 6$

Ответ: $n = 6$

3. Формула суммы первых $n$ членов

$$S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}, \quad q \neq 1$$

Пример 4 (нахождение суммы)

Дано: $b_1 = 3$, $q = 2$, $n = 5$. Найдите $S_5$.

$S_5 = \dfrac{3(2^5 - 1)}{2 - 1} = \dfrac{3(32 - 1)}{1} = 3 \cdot 31 = 93$
Проверка: 3 + 6 + 12 + 24 + 48 = 93 ✓

Ответ: $S_5 = 93$

Пример 5 (сумма с отрицательным $q$)

Дано: $b_1 = 2$, $q = -2$, $n = 4$. Найдите $S_4$.

Прогрессия: 2, -4, 8, -16
$S_4 = 2 + (-4) + 8 + (-16) = -10$
По формуле: $S_4 = \dfrac{2((-2)^4 - 1)}{-2 - 1} = \dfrac{2(16 - 1)}{-3} = \dfrac{30}{-3} = -10$ ✓

Ответ: $S_4 = -10$

4. Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия

Бесконечно убывающая прогрессия — это прогрессия, у которой $|q| < 1$.

$$S = \frac{b_1}{1 - q}, \quad |q| < 1$$

Пример 6 (бесконечно убывающая)

Дана прогрессия: $b_1 = 1$, $q = \dfrac{1}{2}$. Найдите сумму всех членов.

$|q| = \dfrac{1}{2} < 1$ → прогрессия бесконечно убывающая
$S = \dfrac{b_1}{1 - q} = \dfrac{1}{1 - \dfrac{1}{2}} = \dfrac{1}{\dfrac{1}{2}} = 2$
Проверка: $1 + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{8} + \ldots = 2$ ✓

Ответ: $S = 2$

5. Свойства геометрической прогрессии

Свойство 1: Нахождение знаменателя

$$q = \frac{b_n}{b_{n-1}}$$

Пример 7 (нахождение знаменателя)

Дана прогрессия: 2, 6, 18, 54, ... Найдите $q$.

$q = \dfrac{6}{2} = 3$
Проверка: $\dfrac{18}{6} = 3$, $\dfrac{54}{18} = 3$ ✓

Ответ: $q = 3$

Свойство 2: Квадрат среднего члена

$$b_n^2 = b_{n-1} \cdot b_{n+1}$$

Пример 8 (пропущенный член)

Дана прогрессия: 2, __, 18. Найдите пропущенный член.

$b_2^2 = b_1 \cdot b_3 = 2 \cdot 18 = 36$
$b_2 = \pm 6$
Если $q > 0$: $b_2 = 6$
Если $q < 0$: $b_2 = -6$

Ответ: 6 или -6 (в зависимости от знака $q$)

6. Сравнение арифметической и геометрической прогрессий

Характеристика	Арифметическая	Геометрическая
Действие	Прибавление $d$	Умножение на $q$
$n$-й член	$a_n = a_1 + (n-1)d$	$b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$
Сумма	$S_n = \dfrac{(a_1+a_n)n}{2}$	$S_n = \dfrac{b_1(q^n-1)}{q-1}$
Свойство	$a_n = \dfrac{a_{n-1}+a_{n+1}}{2}$	$b_n^2 = b_{n-1} \cdot b_{n+1}$

7. Типичные задачи из ОГЭ

Пример 9 (задание №14 ОГЭ)

Дана геометрическая прогрессия: 3, 6, 12, ... Найдите сумму первых 6 членов.

$b_1 = 3$, $q = \dfrac{6}{3} = 2$
$S_6 = \dfrac{3(2^6 - 1)}{2 - 1} = 3(64 - 1) = 3 \cdot 63 = 189$

Ответ: $S_6 = 189$

Пример 10 (задание №14 ОГЭ)

В геометрической прогрессии $b_1 = 2$, $b_4 = 54$. Найдите $b_6$.

$b_4 = b_1 \cdot q^{3}$
$54 = 2 \cdot q^3 \Rightarrow q^3 = 27 \Rightarrow q = 3$
$b_6 = 2 \cdot 3^5 = 2 \cdot 243 = 486$

Ответ: $b_6 = 486$

← 19. Арифметическая прогрессия 21. Системы линейных уравнений →