← Маршрут ОГЭ
Тема 21 из 72 · Алгебра

Системы линейных уравнений

Метод подстановки, метод сложения, текстовые задачи

ТГ-каналПодписывайся · там же запись на вводный урок t.me/algo_math ↗
Содержание 6 разделов
  1. Системы линейных уравнений
  2. 1. Три способа решения
  3. 2. Метод подстановки
  4. 3. Метод сложения (алгебраического сложения)
  5. 4. Сколько решений может быть у системы
  6. 5. Текстовые задачи, решаемые системой уравнений

Системы линейных уравнений

Система уравнений — это несколько уравнений с несколькими переменными, для которых нужно найти общее решение — такие значения переменных, при которых верны ВСЕ уравнения системы одновременно.

Важно запомнить!

Система из двух линейных уравнений с двумя переменными задаёт на координатной плоскости две прямые. Решение системы — это точка их пересечения (или несколько точек, или ни одной).

1. Три способа решения

СпособКогда удобен
ПодстановкаКогда одна переменная легко выражается (коэффициент 1 или -1)
Сложение (алгебраическое сложение)Когда коэффициенты при одной переменной совпадают или легко уравниваются
ГрафическийДля оценки количества решений, редко для точного ответа

2. Метод подстановки

Алгоритм:

  1. Из одного уравнения выразить одну переменную через другую
  2. Подставить полученное выражение во второе уравнение
  3. Решить получившееся уравнение с одной переменной
  4. Найти вторую переменную, подставив найденное значение
  5. Записать ответ в виде пары чисел $(x; y)$
Задача 1 (метод подстановки)

Решите систему уравнений: $\begin{cases} x + y = 7 \\ 2x - y = 2 \end{cases}$

  1. Из первого уравнения выражаем $y$: $y = 7 - x$
  2. Подставляем во второе уравнение: $2x - (7 - x) = 2$
  3. Раскрываем скобки: $2x - 7 + x = 2$
  4. $3x = 9 \Rightarrow x = 3$
  5. Находим $y$: $y = 7 - 3 = 4$

Ответ: $(3; 4)$

Задача 2 (дробные коэффициенты)

Решите систему: $\begin{cases} 3x + 2y = 16 \\ x - y = 2 \end{cases}$

  1. Из второго уравнения: $x = y + 2$
  2. Подставляем в первое: $3(y+2) + 2y = 16$
  3. $3y + 6 + 2y = 16 \Rightarrow 5y = 10 \Rightarrow y = 2$
  4. $x = 2 + 2 = 4$

Ответ: $(4; 2)$

3. Метод сложения (алгебраического сложения)

Алгоритм:

  1. При необходимости умножить одно или оба уравнения на числа так, чтобы коэффициенты при одной из переменных стали противоположными или равными
  2. Сложить (или вычесть) уравнения почленно, чтобы одна переменная сократилась
  3. Решить получившееся уравнение с одной переменной
  4. Подставить найденное значение в любое из исходных уравнений и найти вторую переменную
Задача 3 (коэффициенты сразу противоположны)

Решите систему: $\begin{cases} 2x + 3y = 13 \\ 2x - y = 1 \end{cases}$

  1. Вычтем из первого уравнения второе: $(2x+3y) - (2x-y) = 13 - 1$
  2. $4y = 12 \Rightarrow y = 3$
  3. Подставим в первое уравнение: $2x + 3 \cdot 3 = 13 \Rightarrow 2x = 4 \Rightarrow x = 2$

Ответ: $(2; 3)$

Задача 4 (нужно домножить оба уравнения)

Решите систему: $\begin{cases} 3x + 2y = 12 \\ 2x + 5y = 8 \end{cases}$

  1. Домножим первое уравнение на 5, второе на 2, чтобы уравнять коэффициенты при $y$:
  2. $15x + 10y = 60$
  3. $4x + 10y = 16$
  4. Вычитаем: $(15x+10y) - (4x+10y) = 60 - 16 \Rightarrow 11x = 44 \Rightarrow x = 4$
  5. Подставим в первое уравнение: $3 \cdot 4 + 2y = 12 \Rightarrow 2y = 0 \Rightarrow y = 0$

Ответ: $(4; 0)$

4. Сколько решений может быть у системы

СлучайПризнак по коэффициентамГеометрический смысл
Единственное решение$\dfrac{a_1}{a_2} \ne \dfrac{b_1}{b_2}$Прямые пересекаются в одной точке
Нет решений$\dfrac{a_1}{a_2} = \dfrac{b_1}{b_2} \ne \dfrac{c_1}{c_2}$Прямые параллельны
Бесконечно много решений$\dfrac{a_1}{a_2} = \dfrac{b_1}{b_2} = \dfrac{c_1}{c_2}$Прямые совпадают
Задача 5 (сколько решений)

Сколько решений имеет система $\begin{cases} 2x + 4y = 6 \\ x + 2y = 5 \end{cases}$?

  1. Сравним коэффициенты: $\dfrac{2}{1} = 2$, $\dfrac{4}{2} = 2$ — коэффициенты при $x$ и $y$ пропорциональны
  2. Сравним свободные члены: $\dfrac{6}{5} \ne 2$
  3. Значит, прямые параллельны и не совпадают

Ответ: решений нет

5. Текстовые задачи, решаемые системой уравнений

Алгоритм составления системы:

  1. Обозначить неизвестные величины буквами $x$ и $y$
  2. Составить два уравнения на основе условий задачи
  3. Решить систему любым удобным способом
  4. Проверить, подходит ли ответ по смыслу задачи (например, количество не может быть отрицательным)
Задача 6 (задача на возраст)

Сумма возрастов отца и сына равна 55 годам. 5 лет назад отец был старше сына в 4 раза. Найдите возраст каждого сейчас.

  1. Пусть $x$ — возраст отца, $y$ — возраст сына сейчас
  2. Первое уравнение: $x + y = 55$
  3. 5 лет назад: $x - 5 = 4(y-5)$, то есть $x - 5 = 4y - 20$, откуда $x = 4y - 15$
  4. Подставим в первое уравнение: $(4y-15) + y = 55 \Rightarrow 5y = 70 \Rightarrow y = 14$
  5. $x = 55 - 14 = 41$

Ответ: отцу 41 год, сыну 14 лет

Задача 7 (задача на стоимость)

В кафе купили 3 пирожных и 2 сока за 340 руб. За 5 пирожных и 3 сока заплатили 550 руб. Найдите цену пирожного и цену сока.

  1. Пусть $x$ — цена пирожного, $y$ — цена сока
  2. $\begin{cases} 3x + 2y = 340 \\ 5x + 3y = 550 \end{cases}$
  3. Домножим первое уравнение на 3, второе на 2: $9x + 6y = 1020$; $10x + 6y = 1100$
  4. Вычтем первое из второго: $x = 80$
  5. Подставим в первое уравнение: $3 \cdot 80 + 2y = 340 \Rightarrow 2y = 100 \Rightarrow y = 50$
  6. Проверка: $5\cdot80+3\cdot50=400+150=550$ ✓

Ответ: пирожное — 80 руб., сок — 50 руб.

← 20. Геометрическая прогрессия